线性代数方程组的数值解_第1页
线性代数方程组的数值解_第2页
线性代数方程组的数值解_第3页
线性代数方程组的数值解_第4页
线性代数方程组的数值解_第5页
已阅读5页,还剩40页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

一般地说,差分格式被写成如下的形式:,(3.1),其中,n是节点数,也即方程个数,每个方程对应一个节点。 和bi(i=1,2,n;j=1,2,n)都是常数 矩阵,,第三章:线性代数方程组的数值解法,1 引言,方程组(3.1)可被进一步写成矩阵的形式 :,(3.2),其中,解线性代数方程组的直接法。 大家知道,线性方程组,(3.3),中只要矩阵的行列式 ,方程组(3.3)就有唯一解,其表达式为:,(3.4),其中 为用右端向量 替换行列式 的第 j 列而得的,这一公式为著名的Cramer法则。,显然,按Cramer法则求解方程组(3.3)需要计算n+1个n阶行列式。每个n阶行列式按直接展开办法来算,需作(n-1)n!次乘法和n!次加法运算。当n=30时,共约需完成 次乘法和加法运算,这是一个十分惊人的数字,即使在一台每秒作一亿次运算的计算机上完成这一计算也是不可能的。所以,尽管这种办法也是一种直接法,并且理论上可行,但实际上是无法进行求解的。即使采用其它办法来计算行列式,按Cramer法则求解的工作量也比通常的直接法大得多。因而,Cramer法则对于数值计算来说是没有什么用处的,仅在一些特殊场合才有用。,另外,矩阵求逆也是人们熟悉的求解线性方程的一种方法。,(3.5),但求逆矩阵 时,要计算 个( n -1)阶行列式,和一个n 阶行列式,它的计算工作量也是相当可观的,对于n 较大的情况也没有什么现实意义。,2 三角形方程组的解法 所谓三角形方程组是指下面两种形式的方程组:,(3.6),方程组(3.6)叫作下三角形方程组,或,(3.7),方程组(3.7)叫作上三角形方程组。,若用矩阵符号可分别写为:,其中L为方程组(3.6)的系数所构成的下三角形矩阵,其元素满足关系:,U为方程组(2.7)的系数所构成的上三角形矩阵,其元素满足关系:,三角形方程组的求解是很简单的。方程组(3.6)的计算公式可归结为:,(3.8),这个计算过程通常也只作前推过程。,对于方程组(3.7),其计算公式可归结为:,(3.9),这个计算过程通常也叫作回代方程。,由以上分析可以看到,只要把方程组化成了等价的三角形方程组,求解就容易了。,结论:,3 Gauss消去法,Gauss消去法(简称消去法)的提出已有相当长的时间了,是一种古老的方法。然而,近年来在计算机上求解线性代数方程组的实践表明,它仍是直接法中最常用的一种方法,也是最有效的方法之一。其基本思想是:用逐次消去一个未知数的办法把原来的方程组化为等价的(具有相同解)三角形方程组。这样,求解就很容易了。,系数矩阵的三角形化,假定把要求的n 阶线性的方程组(3.1)改写成如下形式:,(3.10),用矩阵符号记为,其中 为 方阵, 为 向量,它们分别为:,分别从原方程组的第二个方程减去第一个方程乘以 ,第三个方程减去第一个方程乘以 ,如此等等,即可消去后面n -1个方程中的未知量 。,这时方程组(3.10)就变为如下等价方程组:,表示成矩阵形式为:,其中,若令 ,则系数 和 的计 算公式应为:,类似地,分别从上述等价方程组的第三个方程减去第二个方程乘以 ,第四个方程减去第二个方程乘以 ,如此等等,即可进一步消去后面n -2个方程中的未知量T2,而将方程(3.10)变为如下等价形式:,表示成矩阵形式为:,其中,若令 ,则系数 和 的计算公式应为:,上述的消去步骤还可以进行下去。如此继续之,重复上述步骤(n -1)次以后,我们即可得到如下等价三角形方程组:,(3.11),表示为矩阵形式:,其中 为如下上三角形矩阵, 为 向量;,(3.12),三角形方程组 很容易用前述的回代过程(3.9)求解,这样就完成了消去法求解n阶线性代数方程组的过程。从原来方程组(3.10)得出等价三角形方程组(3.11)的过程称之为消去过程。采用前面的记号,我们可将消去过程的计算公式归结为对于 ,递推地计算如下各量:,(3.13),(i)系数矩阵中对角线上的元素 都不应 为零,因为在消元的过程中,不断用 作为除数,倘若有一个 为零, 计算就无法进行下去。,(ii)在系数矩阵A每一行的元素中, 的绝对值最好比同一行的其他元素都 大,这 样在作除法运算时,引起的舍 入误差就比较小。,用Gauss消去法解线性代数方程组时,为了能求到最后的解(尽管已经具备了 的条件),并使解尽可能的精确,应注意如下两点:,对照上节中差分格式,不难看到,由有限差分法得到的系数矩阵是能够满足以上两个条件的。因为每个节点方程(第i个方程)都代表着一个单元(第i个单元)与周围单元或外界环境的热量交换关系。在这些热量交换中,无疑都与该单元的温度(Ti)有关,Ti 的系数aii 当然不能为零。,而且在第i个方程中,Ti 的地位比其周围单元温度更为突出,表现在系数上,它的绝对值总是最大的。对于给定温度的节点方程而言,这种性质更明显。因为方程中除了该节点温度以外再也没有别的节点温度,它的系数当然也就最大了。,综上所述,由于对稳定导热问题用有限差分法得到的代数方程具有上述性质,因此在求解方程组时,可大胆放心使用Gauss消去法。(对于更一般的方程组,目前更多采用主元素消去法,而不用Gauss消去法。),4 迭代法,前面介绍的解线性代数方程组的直接法对于阶数不是很高的问题是非常有效的,这种场合一般不使用下面介绍的迭代法。,对于高阶稀疏矩阵,尽管提出了很多特殊的直 接法来处理它们,在运算量和存储量的节省 方面也取得了很大的进展,但仍然难于克服存 储需要量大的缺点,特别在不具备大型计算机 的条件下,采用下面介绍的迭代法更为合适。,迭代法的优点:由于不需要存储系数矩阵的零元素,所以占用的存储单元少。同时程序也比较简单,对于稳定导热用有限差分法所得到的方程组,求解收敛较快,因此广泛地被采用。,迭代法的缺点是:它所得到的是一种近似解, 在运算过程中需要进行多次迭代才能达到收敛 指标的要求,而迭代次数事先是不知道的, 这样,往往要耗费较多的时间。因此, 一般地讲,直接法与迭代法各有优缺点。,迭代法所要讨论的问题,仍是如下线性代数方程组:,(3.14),简写成:,(3.15),迭代法的基本思想: 构造一个由 组成的向量序列,使其收敛于某个极限向量 ,并且 就是方程组(3.14)的精确解。,根据构造向量序列的方法不同,常用的有简单 迭代法,GaussSeidel迭代法与超松弛迭代法, 下面分别予以介绍。,1简单迭代法 最简单的迭代法称为简单迭代法,也称同步迭代法,Jakobi迭代法。迭代的最终目的是求解方程组(3.14)中的 。,前面已经说到,用有限差分法(包括有限元法) 得到的代数方程组能保证系数矩阵A对角线上 元素不为零,即,则可将式(3.14)改写成:,(3.16),其中任一方程均可写成:,(3.17),(1). 任意给定各节点上的温度值 作为解的第零次近似,把它们代入式(3.17)的 右端,由此算得,计算步骤:,(2). 作为解的第一次近似,把第一次近似得到的解 再代入式(3.17)的右端,得到解的第二次近似。 一般地讲,在已得到解的第k次近似 后,代 入式(3.17)右端,得,为解的第k+1次的似。这样得到的序列 为方程组的近似解。只要方程组(2.43)存在唯一解,则不论零次近似如何选取,当 时,此序列 必然收敛,且收敛于方程组的解 。实际计算中k不可能取 ,但可以说,当k充分大时,序列 已足够精确地接近方程组的。,通常,对充分大的k,其相邻两次迭代解 之间的偏差小于预先给定的适当小量 , 即满足,就结束迭代过程,而取 作为方程组(3.17)的近似解。,2Gauss Seidel 迭代法 简单迭代法虽然计算程序简单,但它计算每一个 都要用到全部 的值,因此在计算机上,必须有两套工作单元来存放全部节点的旧值和新值。为了节省工作单元,并加快迭代收敛速度,对上述计算作如下修改。,方程组(3.16)中的第一式仍写成,或,方程组(3.16)中第二式,其中 换成第一次 算得 ,,(3.18),即,按此规律,可得到的一般关系式:,(3.19),这种计算方法称为Gauss-Seidel 迭代法,也称为异步迭代法。用Gauss-Seidel迭代法时,必须将节点或单元按顺序排列,并按顺序逐个进行迭代。,由式(3.19)即可看到,用Gauss-Seidel迭代法进行迭代求解时,只需用一套工作单元存放近似值 或 ,这样节省了工作单元。同时在迭代过程中,有一半用迭代的新值,加速了收敛速度。因此,Gauss-Seidel迭代法是一种常用的方法。,3超松弛迭代法 实际计算表明,当节点个数较多时,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度仍然很慢,人们从改进Gauss-Seidel法的收敛速数出发,提出了超松弛法。,先假定作为第零次近似的向量序列:,现在分两步来求:,第一步用Gauss-Seidel迭代法:,(3.19),求出一个近似解 . 第二步按下述公式(3.20)来改善 ,并得出第一次的近似解 。,或,(3.20),其中 是一个适当选择的参数,用它来改善 。,从式(3.19)与(3.20)中消去 ,可以得出由 直接求出 的公式。,(3.21),这就是超松弛迭代法的计算公式, 为松

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论