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4.3 分部积分法,分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得,分部积分过程,这两个公式称为分部积分公式.,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,例1,x sin xcos xC .,例2,例3,x2ex2xex2exC,ex(x22x2 )C.,分部积分过程：,例4,例5,分部积分过程：,例6,分部积分过程：,解,因为,例7,分部积分过程：,分部积分过程：,解,因为,例8,解,当n1时, 用分部积分法, 有,例9,即,解法一,于是,解法二,例10,令xt2, 则dx2tdt.,注：,在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数 故用分部积分法,在前者中f(x)是以(x)为中间变量的复合函数 故用换元积分法,第一步都是凑微分,第一换积分元法与分部积分法的比较,第一步都是凑微分,第一换积分元法与分部积分法的比较,提问：,下列积分已经过凑微分 下一步该用什么方法？,提示：,可用分部积分法的积分小结,(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:,(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:,(3)被积函数为指数函数与三角函数的积:,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,
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