空间向量的数乘运算.ppt

复习,上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.,认真回顾已学知识,(1) 加法法则及减法法则 平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律 加法交换律及结合律.,两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.,因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律. 借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律,3.1.2空间向量的数乘运算,知识目标,正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.,能力目标,经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.,情感目标,1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； 2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.,重点,难点,共线向量概念、基本定理及推论,共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.,知识要点,1. 空间向量数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.,（1）结果仍然是一个向量; （2）方向:当0时，a与a方向相同; 当0时，a与a方向相反; 当=0时，a是零向量0; （3）大小: a的长度是a长度的 |倍.,2.数乘运算的运算律,显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,知识要点,（1） a与a之间是什么关系？ （2） a与a所在直线之间的关系？,思考！,对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.,3.共线向量（或平行向量）的定义 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors） 记作,知识要点,（1）向量平行与直线平行的比较; （2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a与b ,如果 ,那么a与b有什么相等关系?反过来呢?,思考！,零向量与任何向量平行,（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线; （2）当我们说 a / b时，也具有同样的意义.,知识要点,4.共线向量基本定理 对于空间任意两个向量a ,b(b0)，a / b的充要条件是存在实数，使 a = b,（1）b0的理解.若b=0，则a任意，不唯一; （2）若a / b，b / c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）,5.共线向量基本定理的推论 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点像O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使,OP = OA + ta. (1),其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector） 在l上取AB=a，则(1)式可化为,说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.,6.共面向量定义 平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）. 空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.,知识要点,7.共面向量的定理 如果两个向量a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使 p = x a + y b,8.共面向量的定理的推论 空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB.,M,对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 （其中x+y+z=1）的四点P、A、B、 C是否共面？,探究,原式可以变形为,解答,所以，点P与点A，B，C共面.,如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使,例题,求证：四点E、F、G、H共面.,分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.,证明:因为 所以 OE=kOA，OF=kOB， OG=kOC，OH=kOD. 由于四边形ABCD是平行四边形，所以 AC=AB+AD.,解答,由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.,因此,1.空间向量的数乘运算. 2.空间向量的数乘运算的运算律. 满足分配律及结合律. 3.共线向量与共面向量,共面,B,解析:,点C在AB上，且AOC=30 设A点坐标为(1，0)， B点的坐标为(0， ) C点的坐标为(x，y)=( ， ),则,1.选择 （1）若对任一点O和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,C,（2）对于空间任意一点O，下列命题正确的是（ ）. A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线,A,（3）下列命题正确的是（ ） A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B. 向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面 C. 零向量没有确定的方向 D. 若a / b，则存在唯一的实数使得a = b,C,A. 中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量. 答案C. 点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .,解答,2.解答题 已知： 且m，n，p不共面.若ab,求x