微分几何22曲面的第一基本形式.ppt_第1页
微分几何22曲面的第一基本形式.ppt_第2页
微分几何22曲面的第一基本形式.ppt_第3页
微分几何22曲面的第一基本形式.ppt_第4页
微分几何22曲面的第一基本形式.ppt_第5页
已阅读5页，还剩5页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第二节 曲面的第一基本形式,2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长,1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)， 若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中 称为第一类基本量。,2、曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) 间的弧长为：,3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式,4、第一基本形式是正定的。 事实上， 也可从 直接得到。,例2：正螺面,例题1：求球面的第一基本形式,2、2 曲面上两方向的交角,1、把两个向 量 和 间的交角称为方向（ ）和（ ）间的角。,2、设两方向的夹角为 ，则,3、特别 （1） （2）对于坐标曲线的交角，有 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。,2、3 正交曲线簇和正交轨线,设有两曲线 如果它们正交，则 或 即,若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即,2、4 曲面域的面积,如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为,其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，,定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。,2、5 等距变换,1) 曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面： S： S1： 如果其对应点的参数之间存在一一对应关系： ， 其中 连续，有连续的偏导数，且 这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。,由于 这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。,2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。,定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适 当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。,证明：必要性 设s与s1是等距的且对应点有相同的参数，则s上任一条曲线与s1 上对应曲线有相同的长度，即对于,即有 对于两曲面上的曲线都成立，即对任方向都成立，因此有,充分性 设两曲面有相同的第一基本形式，由于弧长由第一基本形式决定，所以它们的弧长相同。,由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质（内蕴性质） 在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。,2、6 保角变换（共形变换）,1） 定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）,2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们 的第一基本形式成比例。,证明：设取相同的参数时两个第一基本形式为，1。 必要性：设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正 交条件 得 消去 得 由du,dv的任意性，在du=0时
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论