微积分基本公式(48).ppt

第三节 微积分基本公式,基本问题：,（1）定积分与原函数或不定积分之间的联系；,（2）连续函数一定存在原函数；,（3）提供计算定积分的有效而有简便的方法。,（一）变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系,0,a,b,t,t,设物体在 t 时刻的位置为：,速度为：,速度函数 v (t) 在时间区间 a , b 上的定积 分等于其原函数 s (t) 在区间端点的函数值之差,上述特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有 普遍性。,物体在时段 a , b 上 经过的距离为：,（二）积分上限函数及其导数,设 f (x) 在区间 a , b 上连续，x 为区间 a , b 内的任意一点，则 f (x) 在 a , x 上也连续，,考察积分,显然，任给一个,由（1）式就有一个确定的积分 值与之对应，,所以（1）在 a , b 上定义了一 个新函数，称之为积分上限函数，记为,（1）,问题：积分上限函数 (x)是否可导？若能，其 导数等于什么？,定理1：如果函数 f (x) 在 a , b 上连续，则 积分上限函数,在 a , b 上可导，并且它的导数为,定理2（原函数存在定理）: 如果函数 f (x) 在 区间 a , b 上连续，则积分上限函数,就是 f (x) 在区间 a , b 上的一个原函数。,重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,（三）牛顿 莱布尼兹公式,设函数 f (x) 在 区间 a , b 上连续，考察定积分,假设 F(x) 是 f (x) 在 a , b 上的一个原函数 ,再在该式两边同取 x = b 得,又,也 是 f (x) 在 a , b 上的原函数 ,定理3：设函数 f (x) 在 区间 a , b 上连续，,（1）,F(x) 是 f (x) 在 a , b 上的一个原函数，则,公式（1）称为牛顿莱布尼茨公式,意义：,（1）进一步揭示了定积分与原函数或不定 积分之间的联系.,（2）提供了计算定积分的有效而有简便的方法。,注意：,公式（1）仍成立。,例1：,例2：求正弦函数,解：这是一个曲边梯形，,在 0 , 上与 x 轴,所围成的平面图形的面积。,并且在 0 , 上曲顶弧,所以,简单举例,解：在 - 2, -1 上，,是一个原函数，,例3,解：,例4：,因为函数,与所计算的结果矛盾。,这是由于,所以由性质5 知,在积分区间,上不连续,，在 x = 0 处为无穷间断，不能用牛顿莱布尼 兹公式。,性质5：如果在区间 a , b 上，f (x) 0 , 则,综合举例,一、关于变上限函数的例题,（1）上限是自变量，下限是常数，与积分上、下 限的大小无关。,连续函数,（2）积分上限本身也是自变量 x 的可导函数，即,（2）积分上限本身也是自变量 x 的可导函数，即,若令,则 G(x) 由 F(u)，u = (x) 复合而成，即,（3）积分上限是常数，积分下限是自变量 x 的 可导函数，即,（4）积分上下限都是自变量 x 的可导函数。,积分限为变量的函数求导汇总,例2：求极限,解：,例1：,证,证,所以在 ( 0 , + ) 内，F (x) 为单调增加函数。,证,例4：求,解：,例5：设,其中，f (x) 为连续函数。,解：,例6：求,解：先去被积函数中的绝对值,二、关于牛顿- 莱布尼兹公式的例题,例7：设,求 k 值，使,解：因为,故由定积分的可加性有,例7：