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第三章 三角函数与解三角形 第一节 三角函数的概念,1.角的有关概念,射线,旋,转,象限角,正角,负角,零角,k360+， kZ,2.弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_的角. 记作_.,1弧度,1 rad,(2)公式：,2,|r,3.任意角的三角函数 (1)定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐 标是(x,y)，它与原点的距离是r(r= 0)，规定： 比值_叫做的正弦，记作sin ，即sin =_； 比值_叫做的余弦，记作cos ,即cos =_； 比值_(x0)叫做的正切，记作tan ,即tan =_.,(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的_. (3)有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直 线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分 别把它的长度添上正号或负号，这样所得的_，叫做有向线 段的数量，记为_.,线段,数,AB,(4)三角函数线：,如图所示，则正弦线为_(用字母表示) 余弦线为_， 正切线为_. 有向线段MP，OM，AT都称为_.,MP,OM,AT,三角函数线,判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”). (1)小于90的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ 或2k+45，kZ.( ) (4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.( ) (5)点P(tan ，cos )在第三象限，则终边在第二象 限.( ),【解析】(1)错误.负角小于90，但它不是锐角. (2)错误，第一象限角不一定是锐角，如-350是第一象限 角，但它不是锐角. (3)错误，不能表示成2k+45，即角度和弧度不能混用. (4)错误,拨快时分针顺时针旋转，应为-60. (5)正确，由已知得tan 0，cos 0，所以为第二 象限角. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.终边与坐标轴重合的角的集合为_. 【解析】由题意可知，角的终边分4种情况，分别是在x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴.故角的集合是以上4种情况的并集，即|=k90，kZ. 答案：|=k90,kZ,2.终边落在第二象限的角可表示为_. 【解析】由题意可知角的终边与钝角的终边相同，故可表示 为| +2k+2k，kZ. 答案：| +2k+2k，kZ,3.已知sin 0，tan 0，那么是第_象限角. 【解析】由sin 0，则的终边在第三、四象限，或y轴负半轴.由tan 0，则的终边在第一、三象限，故是第三象限角. 答案：三,4.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的 弧长是_. 【解析】由 ，l=|r=2r，可得 答案： 5.已知角终边上一点A(2,2)，则tan =_. 【解析】 答案：1,6.扇形的半径为2，圆心角为120，扇形面积为_. 【解析】120=120 (rad)， 答案：,考向 1 终边相同的角与象限角 【典例1】(1)若角与的终边落在过原点的同一条直线上，则与的关系是_. (2)若sin cos 0，则为第_象限角. (3)已知角是第一象限角，确定2， 的终边所在的象限.,【思路点拨】(1)分，终边重合与互为反向延长线两种情况求解. (2)分同为正和同为负两种情况分析. (3)写出的范围，再求2， 的范围.利用k的取值判断.,【规范解答】(1)当，的终边重合时， =+k2,kZ. 当，的终边互为反向延长线时， =+k2=+(2k+1),kZ. 综上可得=+k,kZ. 答案：=+k,kZ,(2)由sin cos 0，可知sin 0，cos 0或 sin 0，cos 0，当sin 0,cos 0时为第 一象限角，当sin 0，cos 0时为第三象限角. 答案：一或三 (3)是第一象限角，k2k2+ (kZ). k42k4+(kZ), 即2k222k2+(kZ), 2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.,k k+ (kZ), 当k=2n(nZ)时,2n 2n+ (nZ), 的终边在第一象限. 当k=2n+1(nZ)时,(2n+1) (2n+1)+ (nZ), 即2n+ 2n+ (nZ), 的终边在第三象 限. 综上， 的终边在第一象限或第三象限.,【拓展提升】与 所在象限的关系,【提醒】在确定象限角时，若出现180k(kZ)，则需首先对k的值进行讨论，然后确定象限.,【变式训练】(1)若是第三象限的角，则- 是第_ 象限角. 【思路点拨】由为第三象限角可得- 的范围，对k取 不同的值可解.,【解析】由+2k +2k，kZ, 得 故 当k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限.故是第一或第三象限角. 答案：一或三,(2)已知角是第二象限角，试确定 所在的象限. 【解析】角为第二象限角， 当k=3n(nZ)时， 的终边在第一象限. 当k=3n+1(nZ)时， 的终边在第二象限.,当k=3n+2(nZ)时， 的终边在第四象限. 综上， 的终边在第一象限、第二象限或第四象限.,考向 2 弧度制的应用 【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6， 求弧 的长及扇形的面积. (2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？ 【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解. (2)利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值.,【规范解答】(1) 故弧 的长为4，扇形的面积为12. (2)由已知得l+2r=20， S= lr= (20-2r)r=10r-r2=-(r-5)2+25， 所以r=5时，Smax=25,此时，l=10，= =2(rad). 故当扇形的圆心角为2时，它有最大面积25.,【互动探究】本例(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将 如何求解？ 【解析】由S弓=S扇形-S=12- 62sin =12-9 , 故弓形的面积为,【拓展提升】弧度制与角度制下弧长与扇形面积公式 弧度制下l=r，S= lr，此时为弧度.在角度制下，弧 长 扇形面积 此时n为角度，它们之间有 着必然的联系.,【提醒】在解决弧长、扇形面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.,【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角的大小. (2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.,【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形， =AOB=60= . (2)由(1)可知= ，r=10， 弧长l=r= 而 S=S扇形-SAOB=,考向 3 三角函数的定义 【典例3】(1)若点P(m，n)是1 110角的终边上任意一点， 则 的值等于_. (2)已知角的终边上一点 m0,且sin = 求cos ,tan 的值. 【思路点拨】(1)由P点在1 110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求式子可解. (2)先由sin = 结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cos ，tan 的值.,【规范解答】(1)由1 110=3360+30, tan 1 110=tan 30= 答案：,(2)由题设知 r2=|OP|2=(- )2+m2,O为原点， 得 从而 于是3+m2=8，解得m= 当m= 时， 当m=- 时，,【互动探究】将本例(2)中“sin = ”改为 “tan = ”，如何求sin ，cos ？ 【解析】由已知得， 又 得m=-1， P(- ，-1)，r=2， ,【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解. (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.,【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求 sin ,cos ,tan 的值. 【解析】角的终边在直线3x+4y=0上， 在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0), 则x=4t,y=-3t, 当t0时，r=5t,当t0时，r=- 综上可知， 或,【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论而致误 【典例】(2013天津模拟)已知角的终边上一点P(3a，4a)(a0),则sin =_. 【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.,【规范解答】x=3a,y=4a, (1)当a0时，r=5a， (2)当a0时，r=-5a， 答案：,【思考点评】 1.任意角三角函数的定义 对于三角函数的定义，若设角的终边经过点P(x，y)， |OP|= 则 2.分类讨论思想的应用 对于三角函数定义，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.,1.(2013连云港模拟)若角与 角终边相同，则在 0，2内终边与 角终边相同的角是_. 【解析】由角与 角终边相同，得=2k+ ，kZ， 故 又 0，2，故k=0时， k=1时， k=2时， ，k=3时， 答案：,2.(2013徐州模拟)已知点P(sin ，cos )在第四象限，则角的终边在第_象限. 【解析】P(sin ，cos )在第四象限， 的终边在第二象限. 答案：二,3.(2013盐城模拟)若cos =- ，且角的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是_. 【解析】由cos =- 0，又点(x，2)在的终边上，故为第二象限角，故x0. 4x2=3x2+12,x2=12,x=- 或x= (舍). 答案：-,4.(2013宿迁模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_. 【解析】设扇形半径为r cm，弧长为l cm， 则 ，解得 圆心角