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第一节 微分中值定理 洛必达法则,一、微分学中值定理,二、罗必达法则,一、微分学中值定理,1、罗尔定理,定理1 （罗尔定理）如果函数 满足下 列条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间（a,b)内可导；,（3）f(a)=f(b)。,则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得,罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端 点外处处有不垂直又不垂直于x轴的切线，并且两端 点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ， 在该点处的切线平行于x 轴(如下图）。,注意（1）罗尔定理中的三个条件中任意一个 不满足，则结论可能就不成立，分别考察下面三 个函数：,（2）罗尔定理的条件只是充分的而不是必要 的条件。,解：由于初等函数 在此闭区间上处 处有定义，故它在此区间上连续。,又 在开区间（-1,1)内处处有定义，,再有 ，所以函数 在-1,1 上满足罗尔定理的条件。,故函数 在此开区间内可导。,解： 函数 在 内处处可导，并且满 足,使得,因此至少存在一点,因此， 有且仅有三个实根，分别在区间（1, 2）,（2, 3）,（3, 4）内。,即 和 是 的三个实根。,至多有三个实根。,2、拉格朗日定理,定理2（拉格朗日定理）如果函数 满 足下列条件：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间（a, b）内可导。,则在开区间（a, b）内至少存在一点 ，使得,也可写成,拉格朗日定理的几何意义：如果连续函数除两 个端点外处处有不垂直又不垂直于x轴的切线，那 么在曲线上至少存在一点，在该点处曲线的切线平 行于连接两端点的切线（如下图）,拉格朗日定理的推论,推论2 如果函数 和 在区间（a, b）内 可导，且有 ，则有 与 在区间 （a, b）内仅相差一个常数，即,为常数）,例3 证明：当 时，,证明 设,由推论1知，在（-1，1）内恒有,则,于是 时，,令 ，,得,又 时，,当 时，,因此，当 时，,例4 证明：当 时，,证明 设,上满足拉格朗日定理的条件，因此有,显然 在,即,由于 ，,所以,即,二、罗必达法则,如果当 时，两个函数 的极限都为零或都趋于无穷大，极限,下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法罗必达法则。,通常称为未定式，分别记为 。,1、 型未定式：,定理：若函数 满足下列条件：,那么,例5 求,解,例7,解,解,例6 求,定理：若函数 满足下列条件：,那么,例8 求,解,例9 求,解,3、其他未定式,除了 型和 型未定式外，还有 型 、,型、 型等类型的未定式 ，,这些未定式可通过化为 型或 型未定式来计 算，下面用例子说明。,例10 求,例11 求,解 这是 型未定
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