无限脉冲响应数字滤波器的设计(1).ppt

第七章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,2,本章目录,数字滤波器的技术指标与设计方法,用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,IIR数字滤波器的优化设计,IIR数字滤波器的Matlab仿真实现,3,理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的设计就是用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数H(z)去逼近理想滤波器的性能。,IIR数字滤波器的两类设计方法： 借助于模拟滤波器的设计方法； 直接在频域或者时域中进行设计。,7.1 引言,4,数字滤波器的技术要求,数字滤波器的设计方法,7.2 数字滤波器的技术指标与设计方法,5,传输函数 幅频特性 表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况； 相频特性 () 反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,7.2.1 数字滤波器的技术要求,6,理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。 为了物理上可实现，在通带与阻带之间应设置一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。,7,低通滤波器,通带 阻带,8,通带内允许的最大衰减 阻带内允许的最小衰减 3dB通带截止频率 当幅度下降到 时，即 下降为0.707, ，对应的频率,9,7.2.2 数字滤波器的设计方法,数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数ai和bi，使得其性能在某种意义上逼近所要求的特性。 数字滤波器的设计步骤: 给出所需要的滤波器的技术指标； 设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标； 用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设计的H(z)。,10,IIR的设计方法借用模拟滤波器,先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。 很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅。 设计步骤 将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标； 根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器； 按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。,11,IIR的设计方法直接设计,直接在频域或者时域中进行设计 这是一种最优化设计法。 由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。,12,FIR滤波器的设计方法,FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器的频率特性作某种逼近得到的。 常用的设计方法: 窗函数法 频率采样法 计算机辅助最优化设计法,13,7.3 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,模拟滤波器的设计 脉冲响应不变法 双线性变换法 设计IIR数字滤波器的频率变换法,14,7.3.1 模拟滤波器的设计,常用的模拟滤波器 巴特沃斯（Butterworth）滤波器 具有单调下降的幅频特性 切比雪夫（Chebyshew）滤波器 幅频特性在通带或者阻带内有波动，可以提高选择性； 椭圆（Ellipse）滤波器 在通带和阻带内都有纹波 贝塞尔（Bessel）滤波器等 通带内有较好的线性相位特性,15,理想模拟滤波器幅频特性,16,幅度平方函数 模拟低通滤波器的设计指标 通带截止频率 通带最大衰减 阻带截止频率 阻带最小衰减,17,模拟滤波器的设计步骤,由给定的 、 、 和 求出 由 得到滤波器的系统函数 Ha(s)的极点（或零点）与Ha(-s)的极点（或零点）具有象限对称性。为了保证设计的滤波器稳定，将|Ha(s)|2的左半平面的极点赋给Ha(s)。,18,巴特沃斯低通滤波器的设计方法,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为： N为滤波器阶数 c为3dB截止频率,19,巴特沃斯低通滤波器的特点,幅度特性随着增加单调下降，下降的速度与阶数有关。 随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。 不管N的取值是多少，都经过 点。,20,幅度平方函数的极点分布,幅度平方函数有2N个极点 这N个极点等间隔分布在半径为c的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。 这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚轴上。 当N是奇数时，实轴上有两个极点； 当N是偶数时，实轴没有极点。,21,Ha(s)的表达式,为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s),22,频率归一化,将所有的频率对c归一化，归一化频率 ： 归一化的幅度平方函数为：,23,模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤,由给定的设计指标p、 p 、 s和s确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率c 。,24,求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。 幅度平方函数极点为： 将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s),25,切比雪夫滤波器的设计方法,切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性 在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫型滤波器； 在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫型滤波器。,26,切比雪夫多项式,N 为切比雪夫多项式的阶数 切比雪夫多项式的递推公式,27,不同N值的切比雪夫多项式的曲线,切比雪夫多项式的零点在 区间内； 当 时，曲线具有等纹波特性； 当 时，曲线按双曲余弦函数单调上升。,28,切比雪夫滤波器的幅度平方函数,是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数， 愈大，纹波也愈大。 p称为有效通带截止频率。 频率通常对p归一化，,29,切比雪夫滤波器的幅频特性,30,在通带内，在1和 之间起伏变化；在阻带内是单调下降的； 当N为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器在 处的幅度响应为 。当 时，,31,的确定,设允许的通带纹波为，那么,32,阶数N 的确定,33,切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点,其中,34,极点分布,2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在 为长半轴， 为短半轴的椭圆 上的点。,35,切比雪夫滤波器的传输函数,系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定: 当N为奇数时， 当N为偶数时，,36,切比雪夫低通滤波器的设计步骤,由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数、N和p,37,求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。,38,7.3.2 脉冲响应不变法,从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按照一定的转换关系将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。 脉冲响应不变法 双线性变换法,39,脉冲响应不变法,使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的取样值完全一样,40,41,s平面到z平面的映射关系,s平面上每一条宽为2/T的横带重复地映射到整个z平面上 每一横条的左半部分映射到z平面的单位圆以内 右半部分映射到z平面的单位圆以外 s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上 虚轴上每一段长为的线段2/T都映射到z平面单位圆上一周。,42,例7.3 设模拟滤波器的系统函数为 试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。 解 将Ha(s)展开成部分分式得 用 代换 得到,43,取T=1，得到 数字滤波器的频率响应为,44,7.3.3 双线性变换法,采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩变换到s1平面/T之间的一条横带里; 然后再用z=es1T将此横带变换到整个z平面上去， 这样就使s平面到z平面是一一映射的关系，从而消除了频谱混叠现象。,45,双线性变换法的映射关系,46,非线性频率压缩,双线性变换的映射关系,47,z平面的与s平面的之间呈非线性关系。 这种非线性关系导致双线性变换法的频率标度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响。,48,例7.4 已知模拟滤波器的传输函数为 采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s 解 将式(7.38)代入Ha(s)可得,49,7.3.4 设计IIR数字滤波器的频率变换法,数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法,模拟原型低通滤波器,模拟（高通、带通或带阻）滤波器,数字（高通、带通或带阻）滤波器,频率 变换,脉冲响应不变法 双线性变换法,模拟原型低通滤波器,数字 低通 滤波器,数字（高通、带通或带阻）滤波器,脉冲响应不变法 双线性变换法,频率 变换,50,模拟低通到模拟高通的变换,设为低通滤波器归一化频率， p=j， 为高通滤波器归一化频率 ，q=j，,51,模拟低通到模拟高通的频率变换关系 ： 模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为： 模拟高通滤波器的转移函数为 ：,52,模拟低通到模拟带通的变换,sl：下阻带上限频率 1：通带下限 3：通带上限 sh：上阻带下限频率 B= 3- 1 :带通滤波器的带宽，并以此作为参考频率对轴作归一化处理,53,通带中心频率 归一化中心频率,54,模拟低通到模拟带通的频率变换关系,和的对应关系：,55,模拟低通到模拟带通的频率变换关系,模拟带通滤波器的系统函数为 ：,56,模拟低通到模拟带阻的变换,1：通带下限 3：通带上限 sl：阻带下限 sh：阻带上限 B= 3- 1 : 阻带带宽，并以此作为参考频率对轴作归一化处理,57,通带中心频率 归一化中心频率,58,和的对应关系：,59,模拟低通到模拟带阻的频率变换关系,模拟带阻滤波器的系统函数为:,60,由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤： 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。 利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。 设计模拟低通滤波器。 将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。 采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。,61,例7.5 设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率 ，阻带上限频率为 ，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。 解 数字高通滤波器的技术指标为 模拟高通滤波器的技术指标，取T=1,62,对p归一化， 模拟低通滤波器的技术指标 设计归一化模拟低通滤波器,63,取N=2，归一化模拟低通滤波器为 去归一化， 将模拟低通转换成模拟高通,64,用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通,65,7.4 IIR数字滤波器的优化设计,频率最小均方误差设计 时域直接设计,66,7.4.1 频率最小均方误差设计,理想滤波器的频率响应：Hd(ej) 设计的滤波器的频率响应： H(ej) 频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应H(ej)，使 最小,67,设滤波器的频率响应为： 共有（4N+1）个待定系数 设 那么,68,取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方程,69,70,对极点的修正,在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。 如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。 由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭成对的形式存在。,71,设z1为极点 如果将极点z1和它的共轭极点 均以其倒数 和 代替后，幅度特性的形状不变化，仅是幅度的增益变化了 。 设极点z1处于单位圆外，如果用其倒数进行代换，变成 ，将极点搬移到单位圆内。 极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。,72,7.4.2 IIR数字滤波器的时域直接设计,设希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，时域设计法是设计一个IIR数字滤波器，使它的单位脉冲响应h(n)逼近hd(n). 设滤波器是因果性的，其系统函数为 时域直接设计法是寻找M+N-1个系数ai、bi，使得在 范围内，使h(n)逼近hd(n)。,73,求解上述方程，得到系统函数H(z),74,波形形成滤波器,设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际的滤波器输出为y(n),75,取E对h(n)的偏导为0 得到 求解上式得H(z)的系数h(n)，然后求出ai和bi,76,7.5 IIR数字滤波器的Matlab仿真实现,IIR数字滤波器设计 模拟滤波器到数字滤波器的转换,77,7.5.1 IIR数字滤波器设计,设数字滤波器系统函数为 模拟滤波器的系统函数为 函数butter和cheby1可以确定Butterworth和Chebyshev I型滤波器的系统函数。,78,函数butter的调用格式,函数butter的调用格式为 b, a= butter(n, Wc,) % 设计数字Butterworth滤波器 b, a= butter(n, Wc, ftype) % 设计模拟Butterworth滤波器 其中，n为滤波器阶数，Wc为截止频率。,79,函数cheby1的调用格式,函数cheby1的调用格式为 b, a= cheby1(n, Rp, Wc) % 设计数字Chebyshev滤波器 b, a= cheby1(n, Rp, Wc, ftype) % 设计模拟Chebyshev滤波器 其中，n为滤波器阶数， Rp为通带内的纹波系数，Wc为截止频率。,80,例：设计butterworth低通滤波器,例7.8 设计一模拟butterworth低通滤波器，通带截止频率300Hz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率800Hz，阻带最小衰减30dB。,解 滤波器的阶数和截止频率可由式和确定，程序段为 Wp= 2*pi*300;Ws= 2*pi*800;Rp= 2;Rs= 30; N= ceil(log10(10(0.1*Rs)-1)/(10(0.1*Rp)-1)/(2*log10(Ws/Wp); Wc= Wp/(10(Rp/10)-1)(1/(2*N); b,a= butter(N, Wc, s); freqs(b,a),81,例