有限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第八章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,2,本章目录,利用窗函数法设计FIR滤波器,利用频域采样法设计FIR滤波器,FIR数字滤波器的优化设计,IIR与FIR数字滤波器的比较,FIR数字滤波器的Matlab仿真实现,3,FIR数字滤波器的差分方程为 对应的系统函数为,IIR数字滤波器设计过程中只考虑了幅频特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般是非线性的。 为了得到线性相位特性，则要采用全通网络进行相位校正。,8.1 引言,4,FIR数字滤波器很容易得到严格的线性相位。 FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因此总是稳定的。 FIR滤波器的设计方法： 窗函数法 频率取样法 等纹波逼近法,5,设计思想 寻找一个FIR滤波器，使其频率特性H(ej)逼近理想FIR滤波器的频率特性Hd(ej). 一般情况下，Hd(ej)在边界频率处有不连续点，因此hd(n)是无限长的，且非因果的。 设计方法是用窗函数w(n)对hd(n)进行截取,8.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,6,理想低通滤波器的频率响应 单位取样响应,（是无限长、非因果的）,7,将hd(n)截取长度为N的一段，构成h(n) 为了保证设计的滤波器具有线性相位，必须满足对称性要求 可以将h(n)看作是hd(n)与矩形窗w(n)相乘,8,理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,9,窗函数设计法的频域解释,时域加窗 频域卷积,10,窗函数,时域表示 频域表示 幅度 相位,11,FIR滤波器的幅频特性,FIR滤波器的幅频特性,12,理想低通与矩形窗频谱函数卷积过程,13,(1）=0 时, 即H(0)等于WR()在=-c到=+c一段的积分面积。通常c2/N，H(0)实际上近似等于WR()的全部积分（=-到=+）面积。 （2）=c时，Hd()刚好与WR(-)的一半重叠，因此卷积值刚好是H(0)的一半，即H(c)/H(0)=1/2。 （3）=c-2/N时，WR(-)的全部主瓣都在Hd()的通带（|c）之内。因此卷积结果有最大值，即H(c-2/N)为最大值，频响出现正肩峰。,14,（4）=c+2时，WR(-)的全部主瓣都在Hd()的通带（|c）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。 （5）当c+2/N 当时，随着的继续增大，卷积值将随着WR(-)的旁瓣在Hd()的通带内面积的变化而变化，H()将围绕着零值波动。 (6)当由c-2/N向通带内减小时，WR(-)的右旁瓣进入Hd()的通带，使得H()值围绕H(0)值而波动。,15,加窗对Hd()的影响,在理想特性不连续点c附近形成过渡带。过滤带的宽度近似等于 W()主瓣宽度，=4/N 。即正肩峰与负肩峰的间隔为 4/N。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。 通带内增加了波动，最大的峰值在c- 2/N 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 W()波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈快， W()旁瓣的大小直接影响波动的大小。 这些影响是对hd(n)加矩形窗引起的，称之为吉布斯效应。,16,减小吉布斯效应的方法,增加矩形窗口的宽度N不能减少吉布斯效应的影响。 N的改变只能改变坐标的比例和 的绝对大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。 寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。,17,几种常用的窗函数,窗函数的要求： 窗谱函数主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带； 尽量减少窗谱函数的最大旁瓣的相对幅度，使能量尽量 集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，以增大阻带的衰减； 通常增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制； 矩形窗 三角（Bartlett）窗 汉宁（Hanning）窗 汉明（Hamming）窗 布莱克曼（Blackman）窗 凯泽（Kaiser）窗,18,几种常用的窗函数,矩形窗,B为主瓣归一化幅值下降到-3dB时的带宽,B0主瓣两个过零点之间的宽度,A最大边瓣峰值,D边瓣峰值渐近衰减速度.,19,三角（Bartlett）窗,三角（Bartlett）窗,20,汉宁（Hanning）窗,汉宁（Hanning）窗,这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最 大旁瓣值比主瓣值约低31dB。但是代价是主瓣宽度比矩形窗的 主瓣宽度增加一倍， 即为 8/N。,21,汉明（Hamming）窗,汉明（Hamming）窗,与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，为 8/N，但旁瓣又被进一步 压低， 结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，它的最 大旁瓣值比主瓣值约低41dB。,22,布莱克曼（Blackman）窗,布莱克曼（Blackman）窗,23,凯泽（Kaiser）窗,凯泽（Kaiser）窗,24,常用窗函数的波形,25,常用窗函数的频谱,26,理想低通滤波器加窗后的幅度响应（N=51）, A=20lg|H()/H(0)| (a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 汉宁窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗,27,六种窗函数基本参数的比较,28,用窗函数法设计FIR滤波器的步骤,给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ej)。 根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定窗函数和N值。 计算hd(n) 如果Hd(ej)不能用简单函数表示，可以用求和代替积分。,29,将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的冲激响应h(n) 计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标,30,例 窗函数法设计FIR滤波器,例8.1 用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器，设N=11，c=0.2rad 解：理想数字低通滤波器 单位取样响应,31,要求设计的FIR数字滤波器的单位取样响应,32,用不同窗函数设计的FIR滤波器,用矩形窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大。为保证有同样的过渡带，必须加大窗口长度N,33,例 7-8 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器,-c-0c,0-c, 0+c,（1） 设计N为奇数时的h(n)。 （2） 设计N为偶数时的h(n)。 （3） 若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。,7.4 设计FIR滤波器示例,34,解 根据该线性相位带通滤波器的相位,可知该滤波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类滤波器，其频响,35,（1）当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ej)为第一类线性相位滤波器，H()关于=0, , 2有偶对称结构。题目中仅给出了Hd(ej)在 0上的取值，但用傅里叶反变换求hd(n)时， 需要Hd(ej)在一个周期-,或0, 2上的值，因此, Hd(ej)需根据第一类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为,36,则,h(n)=hd(n)R(n),37,(2) N 为偶数时，H(ej)为第二类线性相位滤波器，H()关于=0 呈偶对称。所以, Hd(ej)在-,之间的扩展同上， 则hd(n)也同上，即:,38,(3) 若改用海明窗,则,N为奇数时,N为偶数时,39,上面两个表达式形式虽然完全一样，但由于N为奇数时， 对称中心点=(N-1)/2 为整数，N为偶数时，为非整数，因此N在奇数和偶数情况下，滤波器的单位脉冲响应的对称中心不同， 在 0nN-1 上的取值也完全不同。,40,例 根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。 通带截止频率p=0.2，通带允许波动Ap=0.25dB； 阻带截止频率s=0.3，阻带衰减As=50dB。 解 查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50 dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。 根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为,由表6-3可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽=8/N，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为,41,3 dB通带截止频率为,理想低通滤波器的单位脉冲响应为,海明窗为,42,则所设计的滤波器的单位脉冲响应为,N=80,所设计的滤波器的频率响应为,利用计算机编程实现，结果如图7-26 所示。图7-26（a）是理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n); 图7-26(b)是海明窗函数; 图7-26(c) 是实际低通滤波器的单位脉冲响应h(n); 图7-26(d)是实际低通滤波器的幅频特性|H(ej)|，以dB为单位。滤波器长N=80，实际阻带衰减为As=53dB，通带波动为Ap=0.0316 dB，均满足设计要求。,43,中低通滤波器设计结果,44,窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考， 计算程序简便， 所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。,45,8.3 利用频率抽样法设计FIR滤波器,频率抽样法是在频率域对理想滤波器Hd(ej)采样，在采样点上设计的滤波器H(ej)和理想滤波器Hd(ej)幅度值相等，然后根据频率域的采样值求得实际设计的滤波器的频率特性H(ej)。 对理想滤波器的频率特性Hd(ej)在0,2范围内等间隔地取样N个点,46,频率响应,47,8.3.1 线性相位的约束 如果我们设计的是线性相位的FIR滤波器，则其采样值H(k)的幅度和相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。 （1） 对于第一类线性相位滤波器， 即h(n)偶对称， 长度N为奇数时， H(ej)=H()ej() 式中：,48,第一类线性相位滤波器幅度函数H()关于=0, , 2为偶对称，即,如果采样值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值Hk（纯标量）与相角k表示， 即,并在=02之间等间隔采样N点,k=0, 1, 2, , N-1,49,将=k代入 , 有：,（2） 对于第二类线性相位FIR滤波器，即h(n)偶对称，N为偶数，则其H(ej)的表达式仍为:,Hk满足偶对称要求。,50,（3） 对于第三类线性相位FIR滤波器，即h(n)奇对称，N为奇数，时， H(ej)=H()ej() 式中：,第三类线性相位滤波器幅度函数H()关于=0, , 2为奇对称，即,但是，其幅度函数H()关于=是奇对称的，关于=0, 2为偶对称， H()=-H(2-),所以，这时的Hk也应满足奇对称要求,51,将=k=2k/N代入得:,即Hk满足奇对称要求。,（4）对于第四类线性相位FIR滤波器，即h(n)奇对称，N为偶数， 则其H(ej)的表达式仍为:,但是，其幅度函数H()关于=是偶对称的，关于=0, 2为奇对称， 即,52,Hd(k)选定原则,N为偶数时,N为奇数时,53,滤波器性能的改进,采用频率抽样法设计的FIR数字滤波器在阻带内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求。 产生这种现象的原因是由于在通带边缘采样点的陡然变化而引起的起伏振荡。 增加阻带衰减的方法是在通带和阻带的边界处增加一些过渡的采样点，从而减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。,54,如图所示， 在频率响应的过渡带内插入一个（H1）或两个（H1，H2）或三个（H1，H2，H3）采样点，这些点上采样最佳值由计算机算出。这样就增加了过渡带，减小了频带边缘的突变，减小了通带和阻带的波动，因而增大了阻带最小衰减。,55,例 用频率采样法设计一线性相位滤波器，N=15，幅度采样值为：,试设计采样值的相位k，并求h(n)及H(ej)的表达式。 解 因本题所给N=15，且k=HN-k满足偶对称条件，H0=1， 这是第一类线性相位滤波器。相位 ， 因此有：,56,0k14,0n14,57,58,例 7-11 利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的,0c,其他,已知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值Hk及相位k，也即求采样值H(k)。 解 N=33, 且低通滤波器幅度特性H(0)=1。这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于=为偶对称， 即,59,且有：,则Hk满足偶对称特性，因而有：,0k32,60,又,故,0k32,61,频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计; 缺点是采样频率只能等于2/N的整数倍，因而不能确保截止频率c的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但这又使计算量加大。,62,8.4 FIR数字滤波器的优化设计,FIR滤波器的优化设计采用“最大误差最小化”的优化准则，根据滤波器的设计指标，导出一组条件，要求在此条件下，在整个逼近的频带范围内使得逼近误差绝对值的最大值为最小，从而得到唯一的最佳解。 可以证明，采用最大误差最小化准则得到的最优滤波器，在通带和阻带内必然呈等纹波特性。 最大误差最小化准则也称为切比雪夫准则。 采用切比雪夫准则设计的滤波器，误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。 等波纹线性相位滤波器设计法,又称为等波纹最佳一致逼近设计法。,63,切比雪夫最佳一致逼近法准则,设所希望设计的滤波器幅度函数为 设计一个FIR滤波器，其幅度函数Hg()在通带和阻带内最佳地一致逼近Hd() 在滤波器的设计中，通带和阻带的要求是不一样的，为了统一使用最大误差最小化准则，通常采用误差加权函数的形式。,64,为了保证设计出的滤波器具有线性相位，h(n)必须满足线性相位条件。 以h(n)为偶对称且N为奇数为例 误差加权函数,65,用函数Hg()最佳一致逼近Hd()的问题是寻找系数a(n), n=0, 1, , M，使加权误差函数E()的最大绝对值达到最小。,66,交错点阻定理,Hg()是Hd()的最佳一致逼近的充要条件是误差函数E()在A上至少呈现M+2个“交错”，使得 如果已知A上的M+2个交错点频率：,67,用矩阵表示 求解方程组，得到系数a(n)和最大加权误差，由此确定最佳滤波器H(),68,实际中交错点组的频率 是不知道的. Remez迭代算法 在频域等间隔取M+2个频率 作为交错点的初始值，计算值。,69,利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg() 把Hg()代入误差函数，求得E() 。,70,如果对所有的频率都有 ，说明是纹波的极值，频率 是交错点组频率。 在某些频率可能 ，需要交换初始交错点组中的某些点，形成一组新的交错点组。 对上次确定的 中每一点，都检查其附近是否存在某一频率 ，如存在，在该点附近找出局部极点值，并用该点代替原来的点。 待M+2个点都检查过，便得到新的交错点组， 再次求、H()和E()，于是完成了一次迭代，也就完成了一次交错点组的交换。,71,利用同样的方法，把各频率处使 的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。 重复以上步骤，因为新的交错点组的选择都是作为每一次求出的E()的局部极值点，因此，在迭代中，每次的|都是递增的。 最后收敛到自己的上限，此时H()最佳一致逼近Hd() 。,72,Remez算法流程图,73,一个设计公式可以用来计算一个低通滤波器的等波纹滤波器阶数， 过渡带宽度为f，通带波动为1，阻带波动为2， 该公式为,74,线性相位FIR滤波器四种形式的统一表示,h(n)为偶对称，N为奇数 h(n)为偶对称，N为偶数 h(n)为奇对称，N为奇数 h(n)为奇对称，N为偶数,75,H()可以统一表示为,76,系数之间的关系,77,加权误差函数,78,例 设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率p=0.3，阻带截止频率s=0.3，通带波动1=0.01，阻带波动2=0.001。 解 计算滤波器阶数，,由于我们希望阻带内的波动比通带内的波动小10倍，所以必须采用加权函数对误差加权：,FIR等波纹设计举例,79,图 7-30,实际中，一般调用MATLAB信号处理工具箱函数remezord来计算等波纹滤波器阶数N和加权函数W()，调用函数remezord直接求滤波器的单位脉冲响应h(n)。,80,8.5 IIR与FIR数字滤波器的比较,IIR滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用比FIR滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，IIR滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。 例如用频率抽样法设计阻带衰减为20dB的FIR滤波器，其阶数要33阶才能达到要求，而如果用双线性变换法设计一个切比雪夫IIR滤波器，只需4-5阶就可以达到同样的指标，所以FIR滤波器的阶数要高510倍。 FIR滤波器可得到严格的线性相位，而IIR滤波器则做不到这一点。IIR滤波器的选频特性越好，则相位的非线性就越严重。如果要求IIR滤波器具有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节数和复杂性。因此在需要严格线性相位的情况下应该选择FIR滤波器。,81,IIR滤波器必须采用递归结构实现，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。但实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳定。而FIR滤波器主要采用非递归结构，因而从理论上以及从实际的有限精度的运算中，都是稳定的。另外，FIR滤波器可以采用快速傅立叶变换（FFT）来实现，在相同阶数下，运算速度可以快得多,82,IIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR滤波器没有现成的设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。一般，FIR滤波器的设计只有计算机程序可以利用，因此对计算工具要求较高，要借助计算机来设计。另外，IIR滤波器主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻和全通滤波器，而FIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性较广。,83,8.6 FIR数字滤波器的Matlab仿真实现,窗函数法设计FIR滤波器 FIR滤波器的优化设计,84,8.6.1 窗函数法设计FIR滤波器,窗函数法是通过对理想滤波器的单位取样响应加窗来逼近理想滤波器的