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文档简介

思考：,第二节 定积分基本积分法,换元法,分部积分法,牛顿莱布尼兹公式：,其中,【例1 】,【例2 】,1定积分的换元积分法,设f (x) 在a, b上连续，若 满足：,(1),(2) 在 (或 )上， 连续且,则,2定积分的分部积分法,【例3 】,【解】令 x = 2sec t ,问题：,原式 ，可以吗？,x = 2,t =,t = 0;,x = 4,注：,定积分换元必须换限，而不必回代,(1) 不定积分换元必须回代原变量；,(2) 变换 须满足条件,例,若作倒代换 ，则,所以，原式 = 0,【例4】 奇偶函数在对称区间上的积分性质,(1)若f (x)为偶函数 , 则,设f (x) 在a, a上连续,(2)若f (x)为奇函数 , 则,【证明 】,令 x =t，则,一般结果,(1)若f (x) = f (x) , 则,(2)若f (x) = f (x) , 则,【例5 】,奇函数,偶函数,单位圆的面积,【例6 】周期函数的积分性质,若连续函数f (x) 以 T 为周期，则 ，有,结论说明：周期为T的连续函数在任一长度为T的,区间上的积分值都相等，与积分区间的起讫点无关,T,O,2T,T,【证明 】,只需证,即,令 x = u + T，则,另证：设,只需证,注：,若连续函数f (x) 以 T 为周期，则有,(n 为自然数),例,【例7 】f (x)在0, 1上连续，则,【证明 】,例如：,【例8 】计算 ( n 为非负整数),【解】,时,n 为偶数,n 为奇数,0,n 为偶数,n 为奇数,例如：,【例9 】已知 f (0) = 1, f (2) = 3, , 求,【解】,【例10 】,dv,u,u,注：,积不出来,f (x)可积说明 f (x) 的原函数存在,积不出来说明 f (x) 的原函数不能用初等函数表达,第七章 定积分应用 与广义积分,定积分应用,广义积分,几何应用，经济应用,设f (x) 在a, b 上连续, 且,整体面积A,近似代替,求和,取极限,简化步骤：,任取,回顾：,U具有可加性(即整体量局部量之和)，且,(1) 分布在a, b上；,(2) ， U在x, x + dx上的局部量,则,积分元素,说明：,中，f (x)dx必须是 的线性主部，,即要,定积分的元素法(微元法),此时实际上f (x)d x = d U,第一节 几何应用,平面图形的面积,曲线的弧长,空间区域的体积,一、平面图形的面积,1直角坐标系下,A,【例1 】计算由 与 y = x + 4 所围成的图形面积,【解】,y = x + 4,交点(2, 2), (4, 8),问题,是否要讨论f (x)， g (x
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