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文档简介

第七节 定积分的换元法 与分部积分法,本节要点,牛顿公式建立了不定积分与定积分之间的关系, 本节,一、定积分的换元积分法,二、定积分的分部积分法,在此基础上建立了定积分的计算方法: 换元积分法和分,部积分法.,一、定积分的换元法,定理 设函数 如果函数 满足:,从 单调增加地变到 ;,则,公式称为定积分的换元公式.,且当 从 变到 时, 对应的,证 由条件, 式中等式两边的定积分存在, 且原函数,另外, 对 与 的复合函数 求导,即 是 的一个原函数. 所以,也存在. 设 是 的一个原函数, 则,由复合函数求导法则, 得,故原式成立.,当 时, 公式仍然成立.,注 在定积分的换元公式中, 要注意当用 把,原来的变量换为新变量时, 积分限也要换为相应于新变,量所对应的积分限.,例1 求积分,解 令 则,则,在该例中可以看到, 在定积分的换元积分法中, 用变,量代换大大简化了积分的计算.,例2 求积分,解 令 则,例3 求积分,解 令,故:,例4 求积分,解 令 则,例5 设,由此得到, 若 为偶函数, 则,若 为奇函数, 则,则,证 因,又,故:,当 为偶函数, 即 则,积分与变量名称无关,若 为奇函数, 则,上述表达式在几何上的意义.,例6 求,解,奇函数积分,例7 设 证明:,证 设 则,设,所以:,利用上述结论计算积分,及,故,因,即,例8 设函数,求,解 令 则 所以,例9 设 证明：,证,所以,例10 设 是以 为周期的连续函数, 证明:,与 无关.,证 因,又,故原式成立.,是一个周期为 的周期函数, 由例10得, 积分在每一个,例11 求,解 因,长度为 上的区间上的积分都相等, 故,二、定积分的分部积分法,平行于不定积分的分部积分法:,有定积分的分部积分法.,设 在区间 上有连续导数, 则,两边积分, 得,移项后即得定积分的分部积分公式:,并注意到:,例12 求,解,例13 求,例14 设,解,因 故,求,例15 证明定积分公式,证,即:,
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