无穷小与无穷大(17).ppt

一、 无穷小的概念与性质,第五节,无穷小与无穷大,二、无穷小的比较,三、无穷大,第二章,一、 无穷小的概念与性质,定义2.5 若,时 ,则称函数,例如：,函数 x-1是 的无穷小;,为,时的无穷小 .,1. 无穷小的概念,称为当,的无穷小 .,(4),以零为极限的数列,都是,时的无穷小 .,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,注 1,2不能笼统地说某函数是无穷小，,而应当说函数,是自变量趋向某个值时的无穷小.,例如，说,是无穷小”是不对的 ;,函数,当,时为无穷小.,“函数,而应当说 ，,其中 为,时的无穷小 .,2. 无穷小与函数极限的关系 定理 2.7,证,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,时, 有,3. 无穷小的性质,定理2.8 有限个无穷小的和仍为无穷小.,证 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,注 1 上述结论对于自变量的任一极限过程 (如：x )均成立；,例如，,解答见课件第四节 例1,2 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小 !,定理2.9 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 .,推论 1,无穷小与常量的乘积是无穷小 .,推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 .,例1,求,解,利用定理 2.9, 可知,注 y = 0 是,的渐近线 .,二、无穷小的比较,都是无穷小,1.引例,极限不同, 反映了无穷小趋于 0 的“速度”是多样的 .,不可比,2.定义2.6,(1)若,则称 是比 高阶的无穷小,记作,(2)若,则称 是比 低阶的无穷小;,(3)若,(4)若,或,则称 是 的同阶无穷小，,则称 是 的等价无穷小,记作,记作,(5)若,则称 是关于 的 k 阶无穷小.,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例2 证明: 当,时,证,3. 常用的等价无穷小,例3,解,故同阶但不等价.,4. 等价无穷小代换法,且,存在 , 则,证,例如,定理2.11 设,定理2.12,证,即,即,例如,故,例4, 原式,解,解,错,错误原因：,问：下列推导是否正确？,不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小,代换时，要用与分子或分母整体等价的无穷小代换.,对于代数和中各无穷小, 一般不能分别 代换. 即遇无穷小 “+”, “”时, 一般不能 代换；,1,2 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价,无穷小进行代换.,注,三、 无穷大,定义2.7 若 M 0 ,当,时， 总有,则称函数,当,时为无穷大,使得,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,1. 无穷大的概念,2. 几何意义,例5 证明,证 M 0,要使,只要,故取,则当,时， 有,即,渐近线,注,1 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；,3,2不能笼统地说某函数是无穷大，,而应当说,函数是自变量趋向某个值时的无穷大；,若,则称直线,为曲线,的铅直渐近线 .,4,5 无穷大与无界的关系,则,则,3. 无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为,定理2.13 在自变量的同一变化过程中,注,无穷小来讨论.,4. 无穷大的比较,(2)若,则称 y 是比 z 高阶的无穷大;,(1)若,(3)若,设,是自变量同一变化过程中的无穷大,则称 y 与 z 是同阶无穷大;,则称 y 是z 的 k 阶,k 0为常数,无穷大.,例如,当,x 时,是x的三阶无穷大;,而多项式,是与,同阶的,无穷大.,定义2.8,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th2.7,4. 无穷小与无穷大的关系,Th2.13,3. 无穷小的比较及无穷大的比较,常用等价无穷小 :,5. 等价无穷小替换定理,Th 2.11,内容小结,例3-1,解,高阶的无穷小 .,哪一个是高阶无穷小.,通过比的极限说明阶的高低,例3-2,解,则将其与 作商，,所以 cosx-cos2x是x的2阶无穷小.,例4-1 求,解,例4-2,解,非零因子的极限可先求出,解 (方法1),例4-3,原式,解 (方法2),例6-1