用三重积分推导抽水做功的计算公式.ppt

6.3 定积分的物理应用 1,抽水作功问题,6.3 定积分的物理应用 2,作为定积分的物理应用，抽水所做的功一般是用定积分来计算。 本课件用三重积分的元素法来推导抽水做功的三重积分计算公式。 用三重积分来计算抽水所做的功，有时更方便。 最后，举例加以说明。,6.3 定积分的物理应用 3,水面,问题：,欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功W。,6.3 定积分的物理应用 4,先用定积分来计算功,6.3 定积分的物理应用 5,如图建立 x 轴： 设瓶高为H，水面高为 h，,在 x (0xh)的高度取厚度为 dx 的很薄的一层水。 假设已知这层水的横截面面积为 A(x) (0xh) , （A(x)一般根据题意得知）,则这层水的体积约为：dv = A(x)dx (体积元素),水面,6.3 定积分的物理应用 6,这一层水受到的力 (重力)：,抽出这一层水的路程：,抽出这一层水功的近似值：,功的元素：,为水的密度，g 为重力加速度,6.3 定积分的物理应用 7,点评：求解这种问题的关键是分析出瓶高 x 处的截面面积 A(x)，其余的量都是固定的。,抽出全部水的功：,(1),6.3 定积分的物理应用 8,下面用三重积分来计算抽水的功,6.3 定积分的物理应用 9,如图建立坐标系，使瓶底在xOy坐标面上。 设瓶中水所占据的空间区域为。,在水中(x,y,z)处取一小块水，体积为 dv (体积元素)。,6.3 定积分的物理应用 10,这一小块水受到的力 (重力)：,抽出这一小块层水的路程 (体积元素到瓶口的距离)：,抽出这一小块水的功的近似值：,（功的元素）,为水的密度，g 为重力加速度。,6.3 定积分的物理应用 11,抽出全部水的功：,(2),下面来说明公式(2)与公式(1)相等。,从以上推导看出：用三重积分建立抽水做功的公式是比较简单的。,6.3 定积分的物理应用 12,假设（如图）,则用“先二后一”积分法,其中 A(z) 是 D(z) 的面积。,结果同公式(1)。,6.3 定积分的物理应用 13,下面来看一个例子,6.3 定积分的物理应用 14,例,设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？,同济六版292页，习题 6,6.3 定积分的物理应用 15,作为比较，我们用两种方法来计算抽水所做的功。,先用定积分计算,6.3 定积分的物理应用 16,设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？,6.3 定积分的物理应用 17,功的元素,6.3 定积分的物理应用 18,mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14: A:=x-PI*(2*x/3)2: dw:=x-(15-x)*mu*g*A(x): Integrate(dw(x),x=015)=integrate(dw(x),x=015);,Maple check：,6.3 定积分的物理应用 19,再用三重积分计算,6.3 定积分的物理应用 20,如图建立坐标系。 圆锥面是直线 z=3y/2 绕 z 轴旋转而成的，其方程为：,在水中(x,y,z)处取体积元素 dv,则功的元素：,6.3 定积分的物理应用 21,抽水的功：,转化为柱面坐标计算,注：如果用“先二后一”积分法计算以上三重积分，则相当于前面的定积分计算过程。,6.3 定积分的物理应用 22,Maple check：,mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14: f:=(x,y,z)-mu*g*(15-z); Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/215),r=010),theta=02*PI) =int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/215),r=010),theta=02*PI);,6.3 定积分的物理应用 23