CH3现代控制理论讲稿.doc

第三章 能控性与能观性（侯媛彬）要点：1 线性连续系统的能控性与能观性2 离散系统的能控性与能观性3能控性与能观性的对偶关系4 线性定常系统的结构分解5 输出能控性难点：1线性多输入系统的能控性与能观性2线性定常系统的结构分解3-1线性连续系统的能控性与能观性1 能控性的定义： 设系统的状态空间表达式为 (3-1)如果在有限时间区间内存在容许控制向量u(t),能使此系统从初始状态转移到x(ta)=0，则称状态x(t0)在t0,ta上是能控的，或称x(t0)在时刻t0上是能控的；若以系统的状态空间的所有元素作为初始状态，且均能满足上述条件，则称系统在t0,ta上是状态完全能控的。定义3-1，对于线性连续定常系统=Ax+Bu Y=Cx,若存在一个分段连续的输入函数U（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。2能控性的基本性质（1） 状态方程的解可以表示为 若状态向量x（t0）是能控的，则存在容许控制U（t），使 因此 =- （3-2） 式（3-2）是能控性很有用的公式。但对于线性定常系统式（3-2）可写成 （2）根据定义，如果系统在t0,ta区间上完全能控，那么对于TbTa,一定有系统在t0,ta区间上完全能控。2 能控性判别的一般方法定理3-1 n阶线性定常系统 =Ax+Bu 完全能控的充分必要条件是能控矩阵QC=B AB A2B An-1B的秩为n。即Rank QC=RankB AB A2B An-1B=n (3-3)3 能控性的直接判别若系统表现为对角形与约当标准形，则可按定理判断其能控性。定理 3-2 若线性定常系统 =Ax+Bu的A为对角形，且对角线上的元素均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵无全为零的行。定理 3-3 若线性定常系统 =Ax+Bu的A为约当标准形，且每个约当块所对应的特征值均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵中与每个约当块最后一行所对应的各行，没有一行元素全为零。*1 当A阵为特征值相同的对角阵时，定理3-2不成立。对于这样的系统应采用一般方法判断其能控性。*2 当A阵为约当标准形阵时，但当两个约当块特征值相同时，定理3-3不成立。4.时变系统的能控性判据 定理3-4 线性连续时变系统 (3-4)在时间区间t0,ta内状态完全能控的充要条件是能控性矩阵 为非奇异。 5状态空间模型的能控标准形变换 定理3-5 设单输入系统S=（A，B，C）是完全能控的，则一定存在一个非奇异变换 使等价系统是能控标准形，且变换矩阵为 , 第二节 线性连续系统的能观性一、能观性的定义和性质1能观性定义设所研究的系统仍为 (3-5)定义3-2 （1）系统S=(A(t),B(t),C(t),如果对t0时刻在t0ta，根据t0，ta上的测量值能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x0，则称x0为系统S在t0时刻的能观测状态，或称x0为系统在t0，ta区间上的能观测状态。（2）系统S=(A(t),B(t),C(t)如果对t0时刻存在ta，t0ta ta)也一定是状态完全能观测的。二、能观性的一般判别方法式(3-5)系统中，若A、B、C阵均为常数阵，则系统为线性定常系统，即 (3-8)定理3-6 由式（3-8）描述的系统，其状态完全能观测的充要条件是能观性，矩阵Q0的秩为n.即 （3-9）通常把能观系统的A阵和C阵称为能观对（A，C）。对于单输入系统，能控阵为n*n矩阵；对于输入为p的多输入系统，为pn*n矩阵，则在中取线性无关的n行作为新的，只要新的满秩，则系统状态完全能观。三、能观性的直接判别方法 定理3-7 设n阶线性连续定常系统 （3-10）的A阵为对角型，且对角线上的元素均不相同，则状态完全能观的充分必要条件是C阵必须没有一列元素全为零。 定理3-8 若式（3-10）中的A为约当标准形，并且每个约当块所对应的特征值均不相同，则状态完全能观的充分必要条件是C中与每个约当块所对应的第一列，没有一列元素全为零。3-3 离散系统的能控性与能观性一 离散系统的能控性1. 离散系统能控性定义定义3-3 对于n阶线性定常离散系统 （3-11） 若存在控制作用的序列u0，u1，ui-1(I=n)能将某个初始状态x0=x0在第I步上达到零状态,即xi=0，则称此状态是能控的，若系统的所有状态均能控，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统能控。2. 离散系统的能控判别定理3-11 线性定常离散系统状态完全完全能控的充要条件是能控判别矩阵 G FG F2G Fn-1G (3-12)的秩为n，即 G FG F2G Fn-1G =n (3-13) 对于单输入系统，能控阵为n*n矩阵，对于输入为m的多输入系统，为n*nm矩阵。二 离散系统的能观性1.离散系统能观性定义定义3-4 对于线性定常离散系统 （3-14） 若能够根据在有限采样时刻上测量的y0，y1，yi可以唯一的确定出系统的任意初始状态x0=x0，则称此系统是状态能观测的，或简称系统能观。2.离散系统的能观判别定理3-12 线性定常离散系统 状态完全完全能观测的充要条件是能控判别矩阵 C CF CF2 CFn-1T 的秩为n，即 C CF CF2 CFn-1T =n (3-15)对于单输入系统，能控阵为n*n矩阵;对于输入为p的多输入系统，为pn*n矩阵。3-4能控性与能观性的对偶关系下面来讨论这个问题。设系统S1的状态空间表达式为 该系统能控的充要条件为 B AB An-1B =n （3-16）能观的充要条件为 CT ATCT (AT)n-1CTT =n （3-17）现在构造一个称为与系统S1对偶的系统S2 （3-18）该系统满足A*=AT,B*=CT,C*=BT，则上式可以写成 （3-19）式中，X和X*均为n维向量，u和u*同为m维向量，y和y*均为p维向量。显然，对于系统S2，状态完全能控的充要条件是 CT ATCT (AT)n-1CTT =n （3-20）式（3-20）和式（3-17）具有相同形式和相同的秩，即系统S2的能控性等价于系统S1的能观性。系统S2状态完全能观的充要条件是 BT BTAT BT(AT)n-1T=n （3-21）式（3-21）和式（3-16）具有相同形式和相同的秩，即系统S2能观性等价于系统S1的能控性。定理313 对偶原理，设S1=(A,B,C)和S2=(A*,B*,C*)是互为对偶的两个系统，系统S1的状态完全能控（状态完全能观）等价于系统S2的状态完全能观（状态完全能控）。根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观）的特性，可以转化为其对偶系统的状态完全能观（状态完全能控）的特性来研究。3-5 线性定常系统的结构分析从前述可知,系统若是能控(能观)的,经过非奇异变换总可以得到相应的标准形,而变换后的标准形式和对应的原系统的数学模型在代数模型在代数上是等价的,所以互称为等价系统。从几何意义上说，是对原系统改变坐标系所进行的坐标变换，因此变换时所用的变换矩阵实际上是采用的新的坐标系的基底向量为列（或行）所构成，这种变换在线性理论中始终采用。其目的是为了便于对坐标系进行分析。当然这种变换只是在几何意义上进行的，即只改变了系统的数学模型的形式，而没有改变系统所固有的内在性质。这里所提到的内在性质至少包括如下内容：设系统（A，B，C）经过非奇异变化后得到的等价系统为（，），则有（1） 变化后系统的特征值不边，即det(sI-A)=det(I-) （2） 变换后传递函数阵不变，即 C (sI-A)-1B=(sI-)-1（3） 变换后系统的能控性与能观性不变，即 = 对那些不完全能控或不完全能控的系统，为了便于控制与观测，可以进一步进行状态空间分解。即系统的状态空间X时，则可分解为X=XCXNC X=XNOXO其中，XC ，XNC ，XO ，XNO分别是状态空间的能控和不能控，以及能观和不能观子空间。1 能控性分解 设系统（A，B，C）不是完全能控的，下面的定理成立 定理3-14 n阶系统（A，B，C），若RankQC=n0n，则必有非奇异矩阵TC，使线性系统变换x=TC，使得等价系统（，），其中（1） （3-22） （A11，B1，C1）为能控子系统，其维数为n0。（2） B1 A11B1 (A11)n-1B1=n0 （3） C sI-A-1B=C1 sI- A11-1B1TC的求法：先从系统的能控性矩阵QC中任选n0个线性无关的列向量T1，T2， Tn0作为TC阵的前n0个列向量，再补充任选n- n0个线性无关的列向量，只要保证TC是非奇异矩阵，即可构成TC=C1B1 u xcA11A12 yC2A12 图3-6 系统的能控性分解的结构示意图 (P60)二 能观性分解定理3-15 n阶系统（A，B，C），若 =n0n，则必有非奇异矩阵T0，经线性变换x=，原系统变换为新系统（，其中 （1） （3-23） 显然，（A11，B1，C1）为能观子系统，其维数为n0。（2） （3） C sI-A-1B=C1 sI- A11-1B1变换阵的求法，从系统的能观性矩阵中任选n0个线性无关的行向量t1,t2,，tno。作为阵的前n0个向量，再补充任选的n-n0线性无关的行向量，。以保证是非奇异矩阵，则=,然后求得=。（为了使按能控性分解与按能观性分解求分解后个A、B和C的公式一致，故按能观性分解变换阵先求）C1B1 yA11u A21B2A22图3-7 系统的能观性分解的结构示意图 (P62)三、kalman标准分解（1）系统（）建立在能控性及能观性基础上的状态空间分解，通常称为标准分解，简称标准分解。定理3-16 （kalman标准结构定理）n阶系统，若则必存在非奇异矩阵T（nn），使经线性变换后的等价系统为 （3-24） （3-25） （3-26）等价系统的状态向量为 （3-27）其中为能控能观子系统向量；为能空不能观子系统的向量；为不能空但能观子系统的向量；为不能控且不能观子系统的向量。C,OC,NO u yNC,ONC,NO图3-8 系统的标准结构形式示意图(P64)（2）从图3-8可看出，四个系统传递信息的情况。子系统既与输入相通，又与输出相通，是能控能关子系统；在中只有输入通道，而无输出通道，是能控不能关子系统；只有输出通道，而无输入通道，式不能控但能关子系统；与输入和输出均不相通，式不能控不能观子系统。这样，在系统中，输入和输出之间，只存在唯一的单向控制通道，即。显然，反映系统输入输出之间的传递函数阵只能反映出系统中能控且能观的子系统，即 （3-28）式（3-28）说明，传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述。若在系统中增加或去掉不能控或不能馆的子系统，并不影响系统的传递函数阵。反之，若要根据给定的传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有多种形式。（3）由定理（3-16）可知，一旦变换阵确定后，只要经过一次变换后便可对系统同时按能控和能观进行结构分解。四关于传递函数阵的讨论定理3-17 当系统是能控且能观时，则传递函数阵的分母为的最小多项式且与分子之间不出现因子相消现象。上定理是对多输入多输出系统而言，是具有普遍性的结论。引理3-1 若单输入单输出系统是能控且能观的。则的最小多项式和特征多形式必定相通。定理3-18 单输入单输出系统式能控且能观的充分必要条件是：传递函数的分母多项式是特征多项式，亦即分母多项式与分子多项式之间不发生因子相消现象。由定理3-17和定理3-18可知，传递函数（阵）的分子分母无因子相消，对单输入单输出系统而言式系统完全能控且能观的充分必要条件，而对多输入多输出系统则只是必要条件。在古典控制理论中定义传递函数的分母多项式的根为系统的极点，并根据极点在复平面的位置来判断系统的输出的稳定性。而在现代控制理论中则是系数矩阵的特征值（也称为系统的特征值），即的根来判断系统的状态变量的稳定性，并将其定义为系统的极点。由于在传递函数（阵）中会出现因子相消（零极点相消），即传递函数（阵）的分母惰性是指式系统的能控且能观的那一部分特征多形式的根，因此传递函数阵的分母多项式的根与系统的极点不一致，即传递函数阵分母多项式的根一定是系统的基点，但反过来系统的极点却不一定是传递函数阵分母多项式的根。显然，只有当系统式能控且能观的二者才是一致的，此时系统状态变量的稳定性与其输出稳定性也就一致了。如前述这种情况是由描述动态过程的传递函数阵与状态方程两种模型的结构特点所决定的。因此，现代控制理论关于极点就可以给出一个明确的定义。定义3-4 对系统，称的特征值，即得根（包括其重值在内）为系统的极点。定义3-5 对系统，将，的根（包括其重值在内）分别称为系统的能控能观极点，能控不能观极点，不能控能观极点和不能控不能观极点。其中分别是系统标准结构的系数矩阵（即式3-24）中相应的分块矩阵。3-6 最小实现 从系统的结构分解了解到，系统的传递函数（阵）实际上只表示系统既能控又能观子系统。 定理3-19 设m个输入和p个输出的系统发传递函数阵G（s）是严格的有理真分式，则由（A，B，C）所表示的n阶系统是G（s）的最小实现的充要条件是（A，B，C）为完全能控并完全能观的。 定理3-20 若系统（A1，B1，C1）与（A2，B2，C2）同是给定传递函