线性代数23向量组的秩.ppt

1,2.3 向量组的秩(rank),部分组 线性无关，能够线性表示原 向量组中的所有向量。,2,1、定义 向量组 的部分组,满足(1) 线性无关； (2)原向量组中的任一向量都可由 线性表示，,称部分组 是向量组 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。,【注】(2)(2) 任取原向量组中的一个向量添加到该部分组中，所得新的部分组一定线性相关。,一、极大线性无关组,注书中定义: (2)的印刷有误。,3,【注】极大无关组满足的条件： 是原向量组的部分组； 线性无关； 能表示向量组中任一向量。 【理解】极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中含向量个数最多的。,4,2、概念理解,极大无关组的存在性？ 仅含O向量的向量组，无极大无关组。 含非O向量的向量组，必有极大无关组。 线性无关向量组，其极大无关组为其本身。,(3)极大无关组的唯一性？,(4) 若一个向量组有两个极大无关组，它们之间 是何关系？,(2)如果向量组中含基本单位向量组 ， 其即是一个非常漂亮的极大无关组.,No！,5,1、向量组等价 向量组,若(I)中每一个向量都可由（II）线性表示，称向量组(I)可由（II）线性表示； 若(I)和(II)可以相互线性表示，称(I)和(II)等价， 记做(I) (II), 或 ,二、向量组的秩,6,例1 判断下列两个向量组是否等价?,解,7,反身性： (I) (I) 对称性： (I) (II) (II) (I) 传递性： (I) (II)及(II) (III) (I) (III),2、向量组等价的基本性质,8,3、向量组与其极大无关组的关系,定理1 任一向量组与其极大无关组等价。,推论 任一向量组的两个极大无关组等价。,定义,（传递性）,向量组 极大无关组(I) 向量组 极大无关组(II), (I )(II),9,4、线性表示、线性关系、向量个数的有关结论,【逆否命题】设向量组(I)可以由向量组(II)线性表示，在此前提下，若向量组(I)线性无关，则 s t 。,10,例1（续） 实例验证定理2,(I) (II),11,推论1 两个等价的线性无关向量组，所含向量的个数相等。,推论2 向量组的任意两个极大无关组，所含向量的个数相等。,【评注】 向量组的极大无关组所含向量的个数，应该是向量组的一个本质属性，不会因为极大无关组的不同而改变。 向量组的极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中含向量个数最多的。,12,定义 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做,【重要结论】(1) 仅含O向量的向量组，秩为0。,(2) 向量组 线性无关,(3) 向量组 线性相关,【评注】可以利用秩与向量组中所含向量的个数判断向量组的线性关系。,13,(4) s 个 n 维向量 ，有,【重要结论】,【注】若 sn，则向量组一定线性相关。,14,定理3 等价向量组的秩相等。,【注】逆命题不成立，即“秩相等的向量组不一定等价”，请举例。 等价的向量组有相同的线性关系吗？ 不一定，请举例。 如何求一个向量组的秩，将在2.4介绍。,15,例2 设,证明: 与 有相同的秩.,解析 证两向量组等价,则秩相等.,16,解析 两向量组都线性无关，则秩都是3，对由3维向量构成的向量组,若秩为3，根据重要结论，都与3维的基本单位向量组等价，从而两个向量组等价.,17,C,【注