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第三节 数量积与向量积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,例4,应用向量证明直径所对的圆周角是直角,证,如图所示,圆的方程：,设 A 点的坐标为,则,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明思考),证明:,4. 向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,( 行列式计算为线性代数内容 ),向量积的几何意义,解,例2. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,解,三角形ABC的面积为,例7,证,练习,2.证,3.解,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,证: 由三角形面积公式,所以,因,向量的数量积,向量的向量积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,四、小结,内容小结,
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