《希腊数学》PPT课件.ppt

第7讲，希腊数学,咸阳师范学院数学系 唐泉,拉斐尔（1483-1520）壁画雅典学院 （作于1508年）,拉斐尔（1483-1520）壁画雅典学院 （作于1508年）,一、背景介绍,1、 希腊数学的界定 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年之间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区（原南斯拉夫、保加利亚南部）、意大利半岛、小亚细亚以（今土耳其）及非洲北部的数学家们创造的数学。,公元前450年的希腊版图,希腊半岛,爱琴海区域,马其顿与 色雷斯地区,意大利半岛,小亚细亚,非洲北部,意大利半岛,色雷斯,非洲北部,2、古希腊的政治史 希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。 希腊文明可追溯到公元前2800年 最早出现于希腊的文明是爱琴海的米诺斯文明，它的存在从大约公元前3000年一直持续到约前1450年。 迈锡尼文明，是希腊青铜时代（Helladic）晚期（LH）的古希腊文明。它的存在从公元前1600年左右希腊人到达爱琴海开始算起，直至约前1100年的衰落，这是荷马史诗以及许多希腊神话的历史设定。“,希腊黑暗时代：前119世纪。 古希腊时期：传统上，古希腊时期的开始被定为前776年第一次奥林匹克运动会的召开，但是现在更多的历史学家将其提前至约前1000年； 前775 年，希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母，加强了他们记载历史的能力。 前492年，波斯大流士王入侵希腊，爆发希波战争。 前449年，希腊战胜波斯，结束希波战争。 希腊化时期：开始于前323年的亚历山大大帝之死，结束于前146年，希腊大陆和岛屿归并于罗马的版图内。 前641年，亚历山大图书馆被烧，标志着希腊数学的衰落。,3、古希腊数学的分期,古希腊早期，前600年-前449,雅典时期，前449年-前338,黄金时代亚历山大前期，前338年-前30,亚历山大后期，前30年-公元6世纪,二、古典时期的数学学派,1、爱奥尼亚学派 创始人：泰勒斯（Thales，约前640-前546），出生于米利都。 早年经商，游历埃及和巴比伦，学习到数学和天文知识 后从事政治和工程活动，并研究数学天文，晚年转向哲学。 被尊为“希腊七贤之首” ，希腊哲学的鼻祖,论证数学的发端,泰勒斯(Thales of Miletus，ca. 625B.C.-547B.C.),生于爱奥尼亚的米利都,利用巴比伦人的资料预测过公元前585年的日食,曾游历埃及，将几何学引入希腊,商人、政治家、工程师、数学家和天文学家,鼎盛年代大概和释迦牟尼、孔子、希波克拉底等人同时期,主要业绩： （1）智慧逸事（惩治骡子，发财致富） （2）预报日蚀：预报了前585年5月28日下午3时的日食（一说前609，9，30）；沙罗周期（223个朔望月，合18年11日） （3）测量金字塔的高 （4）命题的证明：泰勒斯在数学方面的最大贡献是开始引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。在数学史上是一次不寻常的飞跃。,泰勒斯证明了：,1、圆的直径将圆分为两个相等的部分。,2、等腰三角形两底角相等。,3、两相交直线形成的对顶角相等。,4、如果一个三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么两个三角形全等。,5、“泰勒斯定理”：半圆上的圆周角是直角,2、毕达哥拉斯学派 创始人：毕达哥拉斯（约前560前480） 生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛（）。 曾师从泰勒斯的学生安纳西曼德。 早年留学埃及，据说去过巴比伦和印度。 前520年，移居科罗托那（今意大利南部）建立一个宗教、政治、学术合一的秘密组织。 这种组织遍布希腊各地，后来在政治斗争中遭受破坏，毕达哥拉斯逃到特伦顿（意大利东南角），终于被杀害，终年岁。他死后，他的学派还继续存在了两个世纪之久。,毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos, ca.560B.C.-480B.C.),Samos,埃及和巴比伦,意大利东南沿海的 克洛托内,毕氏学派,【毕达哥拉斯教派的一些规矩】 1禁食豆子。 2东西落下了，不要拣起来。 3不要去碰白公鸡。 4不要擘开面包。 5不要迈过门闩。 6不要用铁拨火。 7不要吃整个的面包。,8不要招花环。 9不要坐在斗上。 10不要吃心。 11不要在大路上行走。 12房里不许有燕子。 13锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。 14不要在光亮的旁边照镜子。 15当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。,万物皆数：他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。 数几何学上的点线面和立体火、气、水、土万物 故数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系,勾股定理：该定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。 不可公度比的发现 数论研究：将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。,勾股定理,毕氏学派研究的各类数,完全数： 28= = = 亲和数：220的因子：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110 因子之和为284 284的因子：1，2， 4，71， 142， 因子之和为220 三角形数：N = 1 + 2 + 3 + + n = 正方形数：N = 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = 五边形数：N = 1 + 4 + 7 + + (3n 2) = 六边形数：N = 1 + 5 + 9 + + (4n 3) =,毕氏学派的另一项几何成就是正多面体作图,无理数的发现,希帕苏斯 Hippasus(公元前470年左右）,无理数的发现,毕氏学派“万物皆数”的贡献,加强了数概念中的理论倾向，提倡数形结合，推动了几何学的抽象化倾向；,“万物皆数”使毕氏学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。,3、诡辩学派和三大几何作图问题 亦称巧辩学派，智人学派，哲人学派。公元前5世纪左右活动于雅典一带。以教授修辞、辩术、文法、逻辑、数学等知识为职，常出入群众集会，发表应时演说。 其数学研究中心是三大几何作图问题,三大几何问题,1、化圆为方：作一个与给定的圆面积相等的正方形。,2、倍立方体：求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。,3、三等分角：分任意角为三等分。,化圆为方,希波克拉底(Hippocrates of Chios) 化月牙形为方：把曲边图形化为直边图形,安提丰 提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法 首创“穷竭法”,希波克拉底化月牙形为方,倍立方问题,三等分角,希比阿斯发明“割圆曲线”,AQ为割圆曲线,要三等分角PDC，则将DE与CF三等分，与割圆曲线交于V、W两点，DV、DW将角PDC分成三个相等的部分。,利用割圆曲线化圆为方,即以DQ为半径的圆可化为边长分别为DQ和2a的长方形，长方形化为正方形即可实现化圆为方。,4、爱利亚学派 产生于公元前6世纪意大利南部爱利亚城邦的哲学派别。先驱者为克塞诺芬尼，创始者为巴门尼德，代表人物还有芝诺（爱利亚的）。 芝诺悖论：一系列关于运动的不可分性的哲学悖论 两分法悖论 阿喀琉斯(Achilles)悖论 飞矢不动悖论 游行队伍悖论,芝诺 Zeno 约495 BC 430 BC,公元前5世纪左右,芝诺悖论,南意大利的爱利亚学派,对无限性概念的早期探索,芝诺悖论: 二分法,假定时间和空间是连续的,事物无限可分,孤立物体的运动是不可能的,芝诺悖论: 阿基里斯,假定时间和空间是连续的,事物无限可分,两个物体的相对运动是不可能的,芝诺悖论: 飞矢不动,芝诺悖论: 运动场,一个时间单元等于半个时间单元,假定时间和空间是间断的,5、 原子论学派 前5世纪至公元前4世纪活跃于色雷斯地区。 创始人是勒西普斯（Leucippus），他生于米利都，曾是芝诺的学生。 代表人物是勒西普斯的学生德漠克利特（Democritus，约公元前460约公元前370）。 认为万物的本原是“原子”与虚空。原子是一种最小的、不可再分的、看不见的物质微粒，而虚空是原子运动的场所。原子的大小、形状、位置不同，在虚空中急剧运动，彼此碰撞结合，形成宇宙万物。,原子论创立者,德莫克利特 Democritus (c. 460 357 BC),atomos 不可分割的,留基伯 Leucippus, 490 ? BC,6、Plato 学派 柏拉图（前-前）, 从师苏格拉底。 约公元前年在雅典创建了一所“学园”，为欧洲历史上第一所固定的学校。 著作采取高度艺术的对话体，主要有 斐多篇、巴门尼德篇、泰阿泰德篇、智者篇、蒂迈欧篇、 法律篇等和书信封。,柏拉图 Plato (428348 BC),雅典学院,坚持对数学知识作演绎整理,分析法和归谬法,“不懂几何者莫入”,数学是一切学问的基础,逻辑演绎结构的倡导,你们知道几何、算术和有关科学的学生，在他们的各科分支里，假定奇数和偶数、图形以及三种类型的解等等是已知的；这些是他们的假设，是大家认为他们以及所有人都知道的事，因而认为是无需向他们自己或向别人再作任何交待的；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论。,-柏拉图，理想国,7、Eudoxus学派 Eudoxus（约-408-355年），以同心球理论呈现行星的复杂运动，以穷尽法研究面积与体积，创比例论解决不可共度的问题，使希腊的数学完全转向几何。 Eudoxus 生於小亚细亚爱琴海岸的 Cnidus。长大後到雅典柏拉图学院求学。 毕业後，他到埃及再学天文，然後转往比家乡更北的海岸地方 Cyzicus，建立自己的学院。,8、Aristotle学派 Aristotle（前384前332），Plato的学生和同事 前343前340，亚历山大的老师 前335年，成立吕园学派 著作涉及机械学、物理学、数学、逻辑、气象学、植物学、心理学、动物学、伦理学、文学、形而上学、经济学,亚里士多德 Aristotle (384-322 BC),范畴篇 分析篇,创立逻辑学,为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论基础,基本逻辑原理矛盾律和排中律，成为数学间接证明的核心,哲学著作：形而上学,物理学著作：物理学、论生灭、论天、天象学、论宇宙,生物学著作：动物志、论动物的历史、论灵魂,逻辑学著作：范畴篇、分析篇,伦理学著作：尼各马可伦理学、大伦理学、欧德谟斯伦理学,政治学、诗学、修辞学,亚里士多德的著作,希腊的学校,三、亚历山大学派,前338年，希腊诸城邦被马其顿控制，至前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国三百余年，为希腊数学的“黄金时代” 亚历山大城建成规模宏大的博物馆和图书馆，成为希腊文化的首府。 古典希腊数学的巅峰欧几里德，阿基米德和阿波罗尼奥斯的工作,1、欧几里德 约生于公元前330年，约殁于公元前260年。 古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，亚历山大里亚学派的成员。 代表作几何原本(Elements)13卷，是古希腊数学发展的顶峰。 几何原本的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。 这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。,演绎数学的兴起,欧几里得 Euclid (ca. 325-ca. 270BC),原本(Elements),共十三卷，包括五条公理、五条公设、一百一十九个定义和四百六十五条命题,第11、12、13卷：立体几何及穷竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：数论的内容,第5卷：比例理论 第6卷：比例理论的几何应用,第1卷：23个定义、公理、公设 第1、3、4卷：平面几何内容 第2卷：几何代数内容,原本来源图,基本定义,5条公理,1、等于同量的量彼此相等 2、等量加等量，和相等 3、等量减等量，差相等 4、彼此重合的图形是全等形 5、整体大于部分,点、线、面、圆等,5条公设,1、假定从任意一点到任意一点可作一直线 2、一条有限直线可不断延长 3、以任意中心和直径可以画圆 4、凡直角都彼此相等 5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交,原本 第5卷,不可公度量的比例理论,穷竭法 Exhaustion,欧多克斯 Eudoxus （409356 BC),比例的定义（将比例理论由可公度量推广到不可公度量）,若 ma nb，则 mc nd 若 ma nb，则 mc nd 若 ma nb，则 mc nd,则称,设a、b; c、d是两对同类的几何量。如果对于任意的自然数m、n，满足关系:,原本 1482年 威尼斯,阿拉伯文本 原本手抄本,徐光启、利玛窦合译原本前6卷(1605-1606年),根据德国数学家克拉维斯(Clavius C. 1537-1612)注释本原本，全书共15卷,李善兰、伟烈亚利合译原本后9卷(1852-1856年),2、阿基米德 公元前287年，诞生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，他十一岁时，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去学习。 他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时，发明了用水力推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。 公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，被罗马士兵杀死，终年七十五岁。 阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。,阿基米德 (Archimedes,287B.C-212B.C),生于西西里岛的叙拉古,著述极为丰富，内容涉及 数学、力学及天文学等,平衡法与穷竭法结合,“给我一个支点，我就可以 移动地球!”,力学方面：提出了精确地确定物体重心的方法；系统并严格证明了杠杆定律；发现了浮力定律（阿基米德定律），为静力学奠定了基础。 几何学方面:阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。 天文学方面：除了前面提到的星球仪，他还认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，该观点比哥白尼的“日心地动说”要早1800年。,著述：阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积。 数学著作：论球和圆柱、圆的度量、抛物线求积、论螺线、论锥体和球体、沙的计算等数学著作。 力学著作：论图形的平衡、论浮体、论杠杆、原理等力学著作。,3、阿波罗尼奥斯(Apollonius，约前262约前190） 圆锥曲线论将圆锥曲线的性质网罗殆尽，代表了希腊几何的最高水平。 证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。 书中已有坐标制思想。 他在解释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。,阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga, ca262-190BC),圆锥曲线论,全书共8卷， 487个命题， 第8卷已失传,首次从一个对顶 锥得到所有的圆锥曲线，并命名为ellipse、yperbola、parabola,四、亚历山大后期和希腊数学的衰落,前306世纪 海伦（Heron，前1世纪1世纪） 托勒玫（Ptolemy，约100170）大成 梅内劳斯的球面论 丢番图和算术 帕波斯（Papps，300350）数学汇编 西帕蒂亚（？415）,海伦：杰出的工程师，学者，发明家。 在数学、物理、测量 s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c) 宋代的数学家秦九韶 的“三斜求积术”。 “海伦秦九韶公式”。,梅内劳斯定理： 一直线与ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则,托勒密 Ptolemy (ca 100 - ca 170),大汇编 至大论 天文学大成,The Greatest Hunayn ibn Ishaq, 850AD,Almagest Alexandria, 150AD,天文学大成（Almagest）：一本天文学和数学百科全书。 在17世纪初以前一直是阿拉伯和欧洲天文学家的基本指南。 阿拉伯文原名意为至大，其他名称还有伟大论文、大天文学家、数学文集等； 827年被译成阿拉伯文 12世纪后半叶又从阿拉伯文转译成拉丁文。,大成内容： 此书共13卷； 第1，2卷概述托勒密体系。现存最古老的三角学； 第3卷论太阳运动运动