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文档简介

第二节 换元积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法,一、第一换元积分法 定理3-2（第一换元积分法）（凑微分法） 如果 ，且 u= (x) 可导，则 证 由复合函数导数法则，得 所以 G( (x) 是 g( (x) (x) 的原函数。即 使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：,例3-15 求 解 对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量 u 例3-16 求 解,例3-17 求 解 例3-18 求 解,例3-19 求 解 例3-20 求 解,例3-21 求 解 例3-22 求 解,例3-23 求 解 例3-24 求 解,所以,例3-25 求 解,第二种方法: 同理可得,凑微分常见的类型,为了能熟练掌握凑微分法，应熟记一些常用的微分 关系式，如：,二、第二换元积分法 定理3-3 (第二换元积分法) 设 x= ( t ) 是单调可导 函数，且 f ( ( t ) ) ( t )有原函数 F ( t ) ，则 应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下： 注意 使用此公式的关键在于通过变量替换 x= ( t ) 将 换成一个容易求得的积分 来计算。,1、三角变换 若被积函数中含有 时,可采用三角 替换的方法化去根式 , 这种方法称为三角变换。 三角代换常有下列规律,解 令,例3-26 求,解 设,例3-27 求,解 令,例3-28 求,2、倒变换 例3-29 求 解 令 ，则 ，得,3、根式变换 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换 去掉根式后再积分，也称根式变换。 例3-30 求 解 令 ，则 ，得,当被积函数表达式分母中含有 ax2+bx+c 时，可先配 方，再用换元积分法。 例3-31 求 解,例3-32 求 解 方法一 : 凑微分法,方法二 : 倒变换法 令 ，则 ，得,方法三：三角变换法 令 ，于是 ，所以,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍
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