现代控制理论实验指导书.doc

现代控制理论现代控制理论 实验指导书 安阳工学院安阳工学院 电子信息与电气工程学院电子信息与电气工程学院 目目 录录 实验一实验一 控制系统的数学模型及转换控制系统的数学模型及转换1 1 实验二实验二 状态空间模型的线性变换及其标准形状态空间模型的线性变换及其标准形5 5 实验三实验三 求解系统方程求解系统方程8 8 实验四实验四 系统能控性、能观性的判别系统能控性、能观性的判别1010 实验五实验五 系统稳定性仿真实验系统稳定性仿真实验1313 实验六实验六 状态反馈和状态观测器的设计状态反馈和状态观测器的设计1515 实验一实验一 控制系统的数学模型及转换控制系统的数学模型及转换 一一实验目的实验目的 （1）熟悉线性系统的数学模型及模型转换。 （2）了解MATLAB中相应的函数。 二二实验条件实验条件 带有MATLAB的微机一台。 三三实验原理实验原理 （1 1） 由传递函数建立状态空间由传递函数建立状态空间 系统的传递函数为 1 110 1 110 n n nn n Y sbsbsb G s U ssasa sa （i） 系统只含单实极点时的情况。系统只含单实极点时的情况。 设可分解为： U s 12 U n ssss 则 1 n i i i Y sc U ss 若令状态变量为 1 i i XU s s 其向量-矩阵形式为 ， 111 222 01 1 01 nnn xx xx u xx 12n n x x yccc x （ii） 系统含重实极点时的情况。系统含重实极点时的情况。 例如可分解为 D s 3 14 U n ssss 则 131112 32 4 1 11 n i i i Y scccc U sss ss 若令状态变量为 1 i i XU s s 11111 12112 13113 444 10 100 1 1 0 1 nnn xx xx xx u xx xx 1112134n ycccccx （2 2） 状态方程转化为传递函数状态方程转化为传递函数 设系统的模型如式(11)示。 (11) pmn RyRuRx DCxy BuAxx 其中A为nn维系数矩阵、B为nm维输入矩阵 C为pn维输出矩阵，D为 传递阵，一般情况下为0，只有n和m维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状 态空间表达式之间的关系如式(12)示。 (12)DBASIC sden snum sG 1 )( )( )( )( 式(12)中，表示传递函数阵的分子阵，其维数是pm；表)(snum)(sden 示传递函数阵的按s降幂排列的分母。 四四练习内容练习内容 （1）采用MATLAB编程，求系统的传递函数阵或状态空间表达式。注意：ss2tf和 tf2ss是互为逆转换的指令； （2）在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。 （3）例1.1 已知SISO系统的状态空间表达式为(13)，求系统的传递函数。 , 6 3 1 234 100 010 3 2 1 3 2 1 u x x x x x x (13) 3 2 1 001 x x x y 程序程序: : %首先给A、B、C阵赋值； A=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2; B=1;3;-6; C=1 0 0; D=0; num,den=ss2tf(A,B,C,D) 程序运行结果程序运行结果: : num = 0 1.0000 5.0000 3.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 从程序运行结果得到:系统的传递函数为: (14) 432 35 )( 23 2 sss ss SG （4）例1.2 从系统的传递函数(14)式求状态空间表达式。 程序程序: : num =0 1 5 3; den =1 2 3 4; A,B,C,D=tf2ss(num,den) 程序运行结果程序运行结果: : A = B = -2 -3 -4 1 1 0 0 0 0 1 0 0 C = D = 1 5 3 0 五五实验内容与要求实验内容与要求 （1） 在运行以上例程序的基础上，应用MATLAB对(15)系统编程，求系统的 A、B、C、D阵，并运行得出结果。 (15) 432 35 2 )( 23 2 sss ss s SG 提示：num =0 0 1 2；0 1 5 3； （2）用两种方法验证上述结果是否正确。 提示：num,den=ss2tf(A,B,C,D)； DBAICG 1 )s ( syms s; 六六讨论讨论 例1.2程序运行结果不等于式(13)中的A、B、C阵，是结果错了吗？为什么？ 实验二实验二 状态空间模型的线性变换及其标准形状态空间模型的线性变换及其标准形 一一实验目的实验目的 （1） 掌握线性系统的对角线标准形、约当标准形的表示及相应变换阵的求解。 （2） 了解 MATLAB 中相应的函数。 二二实验条件实验条件 带有MATLAB的微机一台。 三三实验原理实验原理 （1 1） 对角规范型对角规范型 设A阵为任意形式的方阵，且有n个互异实数特征值，则可由非奇异 12 , n 线性变换化为对角阵， 1 21 n P AP P阵由A阵的实数特征向量组成：1,2, i p in 12n Pppp 特征向量满足 ， iii App1,2,in 程序实现： P,D=eig(A) %P为变换阵，D为对角阵 （2 2） 约当标准形约当标准形 设A阵具有m重实特征值，其余为个互异实特征值，但在求解 1 nm 时只有一个独立实特征向量，则只能使A化为约当阵J， iii App 1 p 1 1 11 1 1 0 1 0 m n JP AP 121mmn Pppppp 其中是广义特征向量，满足 12 , m p pp 1 1 1212 1 1 , 1 mm p ppA p pp 其中是互异特征值对应的实特征向量。 1, , mn pp P,J=jordan(A) %P为变换阵，J为约旦阵 （3 3） P P 变换变换 若已知变换矩阵P，则 ,APPA 1 BPB 1 CPC 四四练习内容练习内容 （1） 输入状态空间模型 ， uxx 1 0 0 6116 100 010 试做线性变换，要求变换后系统矩阵A为对角阵。 A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6; B=0 ;0; 1; P,D=eig(A); Q=inv(P); A1=Q*A*P; B1=Q*B; （2） 试将矩阵化为约旦标准型，并求出变换阵。 452 100 010 A A=0 1 0;0 0 1;2 -5 4; P,J=jordan(A); 五五实验内容与要求实验内容与要求 编写程序运算以下两题，并运行得出结果。 （1）输入状态空间模型 ， 011 6116 6115 A 1 2 1 B 100 011 C 2 1 D 求A的特征多项式、特征值，A的对角或约当标准形，变换矩阵P。 （2）输入状态空间模型 ， 01 23 A 0 1 B 10C 0D 输入变换矩阵，求经P变换的模型。 30 02 P 六六讨论讨论 对于一个系统，已知状态空间模型，如何判断变换之后的系统为对角线标准型， 还是约旦标准型？能否统一用jordan语句来转换？ 实验三实验三 求解系统方程求解系统方程 一一实验目的实验目的 （1） 掌握状态转移矩阵的求法。 （2） 掌握系统方程的求解方法。 （3） 了解 MATLAB 中相应的函数。 二实验条件实验条件 带有MATLAB的微机一台。 三实验原理实验原理 （1）状态转移矩阵的计算方法 级数展开法 0 22 ! 1 ! 1 ! 2 1 k kkkkAt tA k tA k tAAtIe 拉普拉氏变换 11 )( AsILe At （2）求解系统方程 线性齐次方程的解 )0()(xetx At 非齐次方程的解 dBuexetx t tAAt )()0()( 0 )( 三、三、练习内容练习内容 试求矩阵的状态转移矩阵。 43 21 A At e syms t; A=1 2 ;3 4; eAt=expm(A*t) 四、四、实验内容与要求实验内容与要求 （1）输入矩阵 01 23 A 求状态转移矩阵,并计算0.3时的状态转移矩阵的值。 （2）已知线性系统状态方程为 ，uxx 1 0 32 10 0 1 )0(x)( 1)(ttu 求系统状态方程的解。 五、五、讨论讨论 对于，如何用公式求状态转移矩阵，写出程序 01 23 A 11 )( AsILe At 并运行，得出结果。 实验四实验四 系统能控性、能观性的判别系统能控性、能观性的判别 一、实验目的一、实验目的 （1） 系统的能控性和能观测性的判别方法、系统的能控性和能观测性分解。 （2） 了解MATLAB中相应的函数。 二、二、实验条件实验条件 带有MATLAB的微机一台。 三、三、实验原理实验原理 （1 1） 能控性判据能控性判据 线性定常连续系统完全能控的充分必要条件： ，其中n为矩阵A的维数。 1n rank BABABn （2 2） 能观测性判据能观测性判据 线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件： ，其中n为矩阵A的维数。 1n C CA rankn CA （3 3） 系统的能控性分解系统的能控性分解 不能控系统的动态方程： ，xAxBuyCx 变换为下列的规范表达式 111121 22 00 ccc ccc xxxAAB PAPPBuu xxxA 1 12 cc cc xx yCPCC xx 其中为 维能控状态子向量；为维不能控状态子向量 c xr c x()nr 令，则可得到子系统的动态方程，其中能控子系统动态方程 12 yyy ， 11121ccc xA xA xBu 11 yC x 不能控子系统动态方程为 ， 22cc xA x 22c yC x （4 4） 系统的能观测性分解系统的能观测性分解 不能观测系统的动态方程： ，xAxBuyCx 变换为下列能观测分解的规范表达式 1111 22122 0 ooo ooo xxxAB TATTBuu xxx BAA 1 1 0 oo oo xx yCTC xx 能观测子系统动态方程为 ， 111 oo xA xBu 11 o yC xy 不能观测子系统动态方程为 ， 21222 ooo xA xA xB u 1 0y 四四练习内容练习内容 已知系统 uxx 0 1 3 610 1101 600 xy 100 （1）判别系统的能控性。 程序如下： A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6; B=3;1;0; Qc=ctrb(A,B); %Qc为能控性矩阵 n=rank(Qc); %求能控性矩阵的秩 L=length(A); if n= = L str=系统状态完全能控 else str=系统状态不完全能控 end （2）求系统的能控性分解后的模型。 程序如下： A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6; B=3;1;0; C=0 0 1; =ctrbf(A,B,C) %T为变换矩阵， 111 , ,A B C T K sum（K） %可求出能控状分量的个数 五五实验内容与要求实验内容与要求 调试完所有实验内容后，输入状态空间模型 ， ， ， 001 103 013 A 1 1 0 B 012C 0D （1）判别系统的能观性。 提示：Qo=obsv(A,C) （2）求系统的能观性分解后的模型。 提示：=obsvf(A,B,C) 111 , ,A B C T K 六六讨论讨论 自己构造一个3阶的系统，判别其能控性，要求系统完全能控，如果系统不完全 能控，则修改系统参数，直至系统完全能控。然后用编程的方法将其变换为能控标 准I型和能控标准II型。 实验五实验五 系统稳定性系统稳定性仿真实验仿真实验 一一实验目的实验目的 （1） 掌握线性系统稳定性的判别方法 （2） 了解 MATLAB 中相应的函数 二二实验条件实验条件 带有MATLAB的微机一台。 三三实验原理实验原理 （1） 线性定常系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q，都 存在唯一的对称正定阵P，满足方程：。Lyapunov T A PPAQ （2） 线性系统的稳定性的充分必要条件是：它的微分方程的全部根都是负实数或 实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。 四四练习内容练习内容 判定如下系统的李亚普诺夫稳定性。 xx 11 10 程序如下： A=0 1;-1 -1; Q=eye(size(A,1); %取Q矩阵为与A矩阵同维的单位矩阵 P=lyap(A,Q); %解李亚普诺夫代数方程，得对称矩阵P P_eig=eig(P); if min(P_eig)0 disp(The system is asymptotically stable.) else disp(The system is not asymptotically stable.) end 五五实验内容与要求实验内容与要求 输入状态空间模型 ， 3824 1000 0100 0010 A 1 0 0 0 B 001 1C 0D 判定如下系统的李亚普诺夫稳定性。 六六讨论讨论 对上述系统还可以采用什么样的方法判断稳定性，试编程实现。 实验六实验六 状态反馈和状态观测器的设计状态反馈和状态观测器的设计 一、实验目的一、实验目的 会用MATLAB实现状态反馈的设计和全维状态观测器的设计。 二、实验条件二、实验条件 带有MATLAB软件的电脑一台。 三、实验原理三、实验原理 设计目的设计目的 控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此，作为设计系统 性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等 价的期望极点。极点配置问题，就是通过设计状态反馈阵，将闭环系统的极点恰好 配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。 设计方法设计方法 （1）给定可控对和一组期望的闭环