用狄拉克符号阐述表象理论和表象变换.doc

用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。一、Dirac符号 量子力学的理论描述常采用Dirac符号。它具有两个优点，即不依赖于具体表象和运算简捷。由量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。在这个空间中，态用右矢表示，一般写为，定义在复数域上。也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如分别表示坐标、动量和动能算符的本征态，而则表示角动量算符的共同本征态。左矢相应的一个抽象态矢。如等则是上述右矢的共轭态矢。二、内积定义两个态矢和标积的形式为，又称内积。且满足下列关系若满足，则称与正交；若满足，则称与是归一的。若力学量完全集F的本征态（分立）记为，则其正交归一性可写为对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为；而动量算符的本征态的正交归一性可写为。三、态矢的表示下面从狄拉克符号出发来讨论一下状态和力学量的表象问题。现在看来所谓表象的问题实际上就是选择基矢量的问题，因为任何一个力学量的本征矢都可以作为基矢量，选择不同的基矢量，状态和力学量就有各种各样的表象。（1）分立谱的情况若力学量完全集F的本征态记为，则在F表象中，任意态矢量可以写为用同上式两边作内积，有所以有它是在上的投影。用列矢表示为所以可以看作一个算符，因为它作用在态矢量上后求和，得出的是态矢量。我们称这个算符为投影算符，用表示，即而，显然，我们称算符I为单位算符，这是基矢完备性的表现。（2）连续谱的情况在这种情况下，上述的求和要用积分代替。比如：在F表象中，两个态矢和之间的内积可按如下方法计算：其中，所以 四、算符的表示设算符的作用用Dirac符号表示为在F表象中，的矩阵元是用与上面的作用方程作内积，有利用前面所得关系由，则有。上式写成矩阵的形式，有其中就是算符在F表象中的矩阵表示。的本征方程为，在F表象中左端可以表成可以写成从而有（即 ）此方程组有非零解的必要条件为五、薛定谔方程用Dirac符号，薛定谔方程可写为在F表象下可表示为 即在态下的平均值用Dirac符号表示为六、表象变换量子力学中表象的选取决定于所讨论的问题，表象选取得适当可以使问题的处理大为简化，因此在讨论问题时常常需要从一种表象变换到另一种表象。这个问题现在看来就是一个基矢量变换的问题。(1)态的表象变换态在F表象中用表示，在表象中用表示，则即其中表示两个基矢之间的关系。写成矩阵的形式，有上式可以简写成其中为么正矩阵，即满足在F表象中所以，同理可证。(