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文档简介

5线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式 简单明了地表示出中的一个线性变换. 我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到（为单位坐标向量），即 ，可见如果线性变换有关系式，那么矩阵应以为列向量. 反之，如果一贯个线性变换使，那么必有关系式 总之，中任何线性变换，都能用关系式表示，其中.把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象（用这个基线性表示）为 记，上式可表示为 ， （5）其中 ，那么，就称为线性变换在基下的矩阵 .显然，矩阵由基的象唯一确定.如果给出一个矩阵作为线性变换在基下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的象，那么根据变换保持线性关系的特性，我们来推导变换必须满足的关系式：中的任意元素记为，有，即 （6）这个关系式唯一地确定一个变换，可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。以为矩阵的线性变换由关系式（6）唯一确定.定义7和上面一段讨论表明，在中取定一个基以后，由线性变换可唯一确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.由关系式（6），可见与在基下的坐标分别为 即按坐标表示，有.例11 在中，取基 求微分运算的矩阵 .解所以在这组基下的矩阵为 .例12 在中，表示将向量投影到平面的线性变换，即 ，（1） 取基为，求的矩阵；（2） 取基为，求的矩阵 .解 （1） 即 （2） 即 由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，一般地，我们有定理3 设线性空间中取定两个基:,由基到基的过度矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那么. 证 按定理的假设，有 可逆；及 ， ，于是，因为线性无关，所以 证毕这定理表明与相似，且两个基之间的过度矩阵就是相似变换矩阵.例13 设中的线性变换在基下的矩阵为 ，求在基下的矩阵.解: 即 ，求得 于是在基下的矩阵为定义8 线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩.显然，若是的矩阵，则的秩就是.,若的秩,则的核的维数为. “线性变换与矩阵的一一对应”的最佳匹配结果定义7和上面一段讨论表明，在 中取定一个基以后，由线性变换 可唯一确定一个矩阵
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