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第九节 闭区间上连续 函数的性质,一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、一致连续性定理 四、小结 思考题,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,你能举到反例吗？,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,f(x)在开区间连续,f(x)有间断点,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例2,证,因此方程在(-3,0),(0,1),(1,2)内至少各有一根,又因为三次方程至多只有三个根，因此这三个根都是实根，并且都在(-3,2)内,例. 证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,证 记 f (x)= ln(1+ex)2x,知 f (x)在0,1上连续.,且f (0)=ln20, f (1) = ln(1+e)2,=ln(1+e) lne2, 0,由定理1, 至少存在一点x0(0, 1), 使得,故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,例4,证,由零点定理,三、一致连续性定理,定义,注：f(x)在I上一致连续 在I上连续；但反之不一定成立。,定理（一致连续性定理）闭区间上的连续函数一定一致连续,例 证明 f(x)=1/x 在(0,1内连续，但不是一致连续,证 f(x)在(0,1内有定义，由初等函数的连续性知f(x)在(0,1内连续下证f(x)在(0,1内不一致连续：,四、小结 思考题,五个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理；一致连续性定理,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再
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