工程力学材料力学部课后习题详.pdf

2-1 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm 2； 解： （1）分析整体，作示力图 = 0)( iB FM： C B 041088= A F A E FN1 FN3 FN2 (c) 40kN A F = （2）取部分分析，示力图见（b） = 0)( iC FM： 02442 . 2 2 =+qFF AN 2 (40 440 2) 36.36kN 2.2 N F = 3 2 6 2 2 36.36 10 31.62MPa 1150 10 N F A = （3）分析铰 E，示力图见（c） = 0 ix F： 0sin 12 = NN FF 22 12 21 40.65kN 2 NN FF + = 3 1 6 1 1 37.96 10 35.3MPa 1150 10 N F A = 2-2 求下列各杆内的最大正应力。 （3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为 40mm 2，下段BC的横截面积为 30mm2， 杆材料的g=78kN/m 3。 解：1.作轴力图，BC 段最大轴力在 B 处 6 N 120.5 30 107812.0kN B F =+? AB 段最大轴力在 A 处 6 N 12(0.5 300.5 40) 107812.0kN A F =+? 3 N 26 12.0 10 400MPa 30mm30 10 B B F = 3 N 26 12.0 10 300MPa 40mm40 10 A A F = 杆件最大正应力为 400MPa，发生在 B 截面。 E D FB FA C q FCx FCy FA FN2 (b) A 12 0 B 12 0 FN C 1 2-4 一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载 从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量 E、泊松比。 解：加载至 58.4kN 时，杆件横截面中心正应力为 3 N 24 58.4 10 330.48MPa 1.510 4 F A = 线应变： 3 3 3 0.9 10 4.5 10 200 10 l l = 弹性模量： 3 3 330.48MPa 73.4 10 MPa 4.5 10 E = 侧向线应变： 3 10467 . 1 15 022 . 0 = ， 泊松比： , 0.326 = 2-6 图示短柱， 上段为钢制， 长 200mm， 截面尺寸为 100100mm 2； 下段为铝制， 长 300mm， 截面尺寸为 200200mm 2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了 0.4mm，试求F值。 已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。 解：柱中的轴力都为 F，总的变形（缩短）为： 12 0.20.3 gl FF l E AE A =+ 12 3 99 0.20.3 0.4 10 0.20.3 200 100.1 0.170 100.2 0.2 1931.0kN gl l F E AE A = + = + = 2-7 图示等直杆AC，材料的容重为g，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位 移B。 解： AB 段内轴力 N1 FFgAx= BC 段内轴力 N2 2FFgAx= B 点位移为杆 BC 的伸长量： 2 2 (2)d21.5 l B l FgAxxFlgAl EAEA + = 2 2-8 图示结构中， AB可视为刚性杆， AD为钢杆， 面积A1=500mm 2， 弹性模量E 1=200GPa； CG为铜杆，面积A2=1500mm 2，弹性模量E 2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm 2， 弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移G。 解： （1）求、杆轴力 由平衡方程可以求出: N1 2 40kN 3 F F= = ， N2 60kNFF= N3 20kN 3 F F= = （2）求杆的变形 3 4 N1 1 96 11 40 101 4 10 m 200 10500 10 AD F l l E A = （压缩） 3 4 N2 2 96 22 60 100.5 2 10 m 100 101500 10 CG F l l E A = （拉伸） 3 6 N3 3 96 33 20 101 6.67 10 m 10 103000 10 BE Fl l E A = （压缩） （3）由几何关系： 4 213 21 6.89 10 m 33 G lll =-（下降） 2-11 图示一挡水墙示意图，其中 AB 杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若 AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力=11MPa，试求 AB 杆所需的直径。 解： （1）求水压力的合力： 2 1 2 40kNPh b= （2）作示力图，由平衡方程求轴力 2 NN3 ()00.6 0.4011.11kN Oi MFFPF= FN P 3m 4m 2m （3）由强度条件，设计截面尺寸： N 36 4 11.11 10 /(11 10 )1.286 10 m 3.58cm F A d d = = 32 3 2-12 图示结构中的 CD 杆为刚性杆，AB 杆为钢杆，直径 d=30mm，容许应力 =160MPa，弹性模量 E=2.0105MPa。试求结构的容许荷载 F。 解： （1）求AB杆的轴力FN = 0)(i C FM： NN sin3022.502.5FFF= o F （2）由强度条件求 F N 46 2.5 9 10160 10 4 45.2kN 2.5 F FA A F = =故 2-14 图示AB 为刚性杆，长为3a。A 端铰接于墙壁上，在C、B 两处分别用同材料、同面 积的、两杆拉住，使AB 杆保持水平。在D 点作用荷载F 后，求两杆内产生的应力。 设弹性模量为E，横截面面积为A。 解： （1）本题为超静定问题 见图(a),设 AB 杆产生角位移，则 =， alal3, 21 （2）由 Hooke 定律： N11 N22 1.5 2 EA FlEA a EA FlEA a = = （3）由平衡方程： = 0)(i A FM： N1N2 320 4.52 2 5.5 aFaFaF aEAaEAaF F EA += += = （4）由Hooke定律： N1 N2 2 0.3636 5.5 1.5 2 1.50.5454 5.5 F FEAF F FEA = =F N1 0.3636 F F AA = N2 0.5454 F F AA = F FN2FN1 FA l2 FAy l1 4 2-15 两端固定，长度为 l，横截面面积为 A，弹性模量为 E 的正方形杆，在 B、C 截面 处各受一 F 力作用。求 B、C 截面间的相对位移。 解： （1）本题为超静定问题 解除 A 截面处约束，代之约束力，见图（a） NA F A 截面的位移为杆件的总变形量 NNN N 3() 3(2 ) 3 AABBCCD AAA A lll FlFF lFF l EAEAEA F lFl EAEA =+ =+ = FNA A （2）由约束条件0 A = 得： F F B C D (a) FNA N N 0 A A F lFl FF EAEA = （3）见图(b),求 BC 段轴力 由平衡条件可知： N 0F = F 所以 B,C 截面相对位移为 F N N 3 0 BC F l EA = (b) 2-17 两块钢板塔接， 铆钉直径为25mm， 排列如图所示。 已知 =100MPa，bs =280MPa， 板的容许应力 =160MPa，板的容许应力 =140MPa，求拉力F 的许可值， 如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F 值如 何改变? 2 2 1 1 解： （1）抗剪强度： 5 = A F 246 552.510100 10245.4kN 4 FA = = （2）挤压强度： 5 bs bs bs A F = 板处kN4205 1 = bs dF 板处kN6305 2 = bs dF （3）拉伸强度： 板 1-1 截面 1 6 t 1012)3200( = d F kN2401012)3200( 1 6 = dF 板 2-2 截面 1 6 t 1012)2200( 5/2 = d F 5 kN7201012)2200(2/5 1 6 = dF 板 1-1 截面 2 6 t 1016)3160( 5/3 = d F kN3 .3171016)3160(3/5 2 6 = dF 板 2-2 截面 2 6 t 1016)2160( = d F kN4 .2461016)2160( 2 6 = dF 综合上述结果，拉力 (最小值)。 240kNF = （二）排列顺序相反时，剪切强度与挤压强度同前。 拉伸强度： 板 1-1 截面 1 6 t 1012)2200( = d F kN2881012)2200( 1 6 = dF 板 2-2 截面 1 6 t 1012)3200( 5/3 = d F kN4001012)3200(3/5 1 6 = dF 板 1-1 截面 2 6 t 1016)2160( 5/2 = d F kN6161016)2160(2/5 2 6 = dF 板 2-2 截面 2 6 t 1016)3160( = d F kN4 .1901016)3160( 2 6 = dF 故拉力 kN4 .190=F 6 3-1 一直径 d=60mm 的圆杆，其两端受外力偶矩 T=2kNm 的作用而发生扭转。试求横截 面上 1，2，3 点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa) 解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径 3 3 P 2 13 2000 47.2MPa 3.14 0.06 /16 0.0 2/331.4MPa T W = = = 3 1 Mx 4 max3/ 5.9 10 raG =d 3-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。 解： （1）作扭矩图 （2）最大切应力发生在 AB 段 E D C B A 300 100 300 max P 36 500 1 2.510 16 162.97MPa x M W = = = 500 3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示，试求： (1)轴的最大切应力。 (2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。 解： （1）作扭矩图， AB 段中最大切应力 max 36 P 60 35.56MPa 310 16 x M W = CD 段中最大切应力 () () max 94 P 6 4 40 3110 16 16 40 1024MPa 27 1 3 x M W 6 = = 所以轴中， max 35.56MPa= （2）相对扭转角分四段计算 C AB D 30 40 60 7 () P1P1P2P2 P1P2P1P2 9 48448 400.2300.1300.1600.15 11121112 1112 0.011426rad 11 80 10 3101 3310 3232 DCCEEBBA GIGIGIGI GIGIGII =+=+ =+=+ =+= 3-5 一圆轴 AC 如图所示。AB 段为实心，直径为 50mm；BC 段为空心，外径为 50mm， 内径为 35mm。要使杆的总扭转角为 0.12，试确定 BC 段的长度 a。设 G=80GPa。 解： （1）作扭矩图 100N m x M = （2）杆件 A、C 截面相对扭转角分两段计算 () () 4 P P 0.9 1 ACBCBA x x MaM a GIGI =+ =+ 100Nm P 4 P 948 35 0.9,0.7 50 1 0.315960.9 80 100.12510 180 32 0.9 100 0.31596 0.402m AC x AC x GIa a M GI a M a a =+ = = = 其中 3-7 图示传动轴的转速为 200 转/分，从主动轮 3 上输入的功率是 80kW，由 1、2、4、5 轮分别输出的功率为 25 kW、15 kW、30 kW 和 10kW。设=20MPa (1)试按强度条件选定轴的直径。 (2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。 解： （1）由输入和输出功率计算等效力偶，作扭转图 1 25 9.551.19375kN m 200 T = 2 15 9.550.71625kN m 200 T = 3 80 9.553.82kN m 200 T = 4 30 9.551.4325kN m 200 T = 5 10 9.550.4775kN m 200 T = max max P 1.91kN m, x x M M W = 3 4 6 P 1.91 10 0.955 10 20 10 W = Mx A C 1 911.19375 0.4775 1.91 8 1 4 3 16 0.955 10 0.0786md = ，d 取 79mm，适用于全轴。 （2） 3 3 11 6 16 1.19375 10 ,67 20 10 d = mmd 适用于 1，2 轮之间 3 3 2 6 16 0.4775 10 ,50 20 10 2 mmd = d 适用于 4，5 轮之间 3-8 传动轴的转速为 n=500 转/分，主动轮输入功率=500KW，从动轮 2、3 分别输出功 率 P=200KW，P =300KW。已知=70MPa， =1/m，G=810MPa。 1 P 23 4 (1)确定 AB 段的直径 d1和 BC 段的直径 d。 2 (2)若 AB 和 BC 两段选用同一直径，试确定直径 d。 解： （1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图 mkN55. 9 500 500 55. 955. 9 1 1 = n P T mkN82. 3 500 200 55. 955. 9 2 2 = n P T mkN73. 5 500 300 55. 955. 9 3 3 = n P T AB 段， mkN55. 9 1 =TMx MPa70 p max = W Mx 33 6 3 p m10136. 0 1070 1055. 9 = = x M W；m089. 0 10136. 016 16 3 3 3 = = p W d /m1)( o max p max = GI Mx 46 64 3 p m1084. 6 180 110108 1055. 9 = = G M I x 4 p 44 32 32 6.84 10 0.091m I d = 故AB段直径d1=91mm。 BC 段， mkN73. 5 1 =TMx MPa70 p max = W Mx 33 6 3 p m10082. 0 1070 1073. 5 = = x M W；m075. 0 10082. 016 16 3 3 3 = = p W d /m1)( o max p max = GI Mx B AC 5.73 Mx9.55 9 46 64 3 p m1011. 4 180 110108 1073. 5 = = G M I x 4 44 32 32 4.11 10 0.08m p I d = 故BC段直径d2=80mm。 （2）若AB段与BC段取同一直径，则d=maxd1,d2=91mm。 3-10 图(a)所示托架，受力 F=40kN，铆钉直径 d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的 切应力的大小及方向。 解：将 F 等效移至铆钉群中心，得力偶 0.228.8kN mTF= 最上面和最下面两个铆钉最危险，其上水平剪力（T 引起） T F FQ M F F= + 3 Q Q 10240 3 120； Q 33kNF = 合剪力 22 QmaxQ ()34.48kN 4 F FF=+= Qmax max 22 34.48kN 109.8MPa 0.01 m F A = 3 . 3 kN10 kN33 4/ tan Q = F F ， 73.14= o A (b) 3-14 工字形薄壁截面杆，长 2m，两端受 0.2kNm 的力偶矩作用。设 G=80GPa，求此杆 的最大切应力及杆单位长度的扭转角。 解： maxmax 3 1 3 x ii M h = () 3 3636 0.2 100.01 36 0.09 1102 0.12 1100.090.2410 18.18MPa 6 = + + = () () 3 3 9363 3 3 3 0.2 103 80 100.09 1102 0.12 110 0.6 10 rad 0.0227 m 800.090.2410 x ii M G h = = + = + 6 10 A-2 试求(a)两图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。 解：分三块计算 2 150 5050 150 150 5022500mm i AA=+= 形心轴位置 () 123 3 1 2575175 91.67mm 25500.025cm z AAA h A SAh + = = z h A2 A3 A1 z A-3 试计算(a)、(b)图形对 y，z 轴的惯性矩和惯性积。 解：查型钢表得 20a 号工字钢几何性质： 4 200mm,2370cm ,158cm zy hII= 4 故 362 1 20.1 1.4100.1 0.014 0.107 12 zz II =+ 8 h 4 88 2370 103210 105580 10 m 23 88 1 21.4 100.1 12 158 10233.3 10391.3 10 m yy II =+ =+= 84 由对称性， 0= yz I A-8 计算图示（a）图形的形心主惯性矩。 解：1.首先求形心位置： 43.96 17500 1687500 5020050150 150502002550150 = + + =h 2.求惯性矩 334 h C z y 11 5 1520 51406.25208.331614.58cm 1212 x I = +=+= ()() 22 33 4 11 5 205 2015 9.64315 55 159.643 2.5 1212 3333.3 2869.7 156.25 3826.710185.95cm z I = = 11 4-1 图(a)所示钢梁(E=2.010 5MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形 式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。 z h 解：（b）截面 34 118 3 1 10 184860cm 12 12.0 104860 10 ,1215m 8 10 z z z I EIM EIM = = 3 max 2 8 10 14.81MPa 1 0.1 0.18 6 z M W = ，下部受拉、上部受压 （c）截面 形心位置： 180 50 25 180 50 140 82.5mm 2 180 50 h + = ()() 22 33 4 11 5 185 18148.2518 518 58.252.5 1212 24302975.6 187.52975.68568.7cm z I = + + =+= 118 3 2.0 108568.7 10 2142.18m 8 10 z EI M = 3 max 8 8 10 0.08250.08257.7MPa 8568.7 10 t z M I = ，固定端截面下部 () max 0.230.082513.77MPa c z M I =，固定端截面上部 4-4 求梁指定截面a-a 上指定点D 处的正应力，及梁的最大拉应力 和最大压应力 。 t max c max h z B A 解：1.求弯矩 支座反力： 10 kN 3 A F =；a-a 截面弯矩： 10 26.67kN m 3 M = 12 最大弯矩： max 40 13.34kN m 3 M= 2.求形心轴 ()() 2 2 22 342 4 3 2 max max 8 1 20 30 151520 5465.7 4 12.91cm 1 423.3 20 3015 4 1 20 3020 3015 12.91151520 12.91 12644 450002620.86 2485.05 8883.1 36252.7cm 13.34 10 12.91 1012.91 36252.7 10 z t z h I M I = =+ =+ = () () 2 3 22 max max 8 3 2 max 8 104.75MPa 13.34 10 30 12.911017.09 106.289MPa 36252.7 10 6.67 10 207.5 12.91100.0754MPa 36252.7 10 c z D M I = = = = = 4-5 4-5 图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为 40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几? 解：设工字形截面腹板上最大正应力1，其承受的弯矩 /2 1 1 0 225d1041666.7 / 2 h x x x h = 2 1 h/2 翼缘上最大正应力2，其承受的弯矩 /2 2 2 /2 2400d5015151.5 / 2 h h x x x h + = + 2 1 11 10 =Q，故腹板上承受总弯矩的百分比为 1 00 00 11 1041666.7 10015.88 11 1041666.75015151.5 10 = + 即翼缘上承受总弯矩的百分比为 0 0 84.12 4-6 4-6 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c) 两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。 13 t 解：(a) 固定端弯矩最大 最大正应力位于该截面 () 2 4 3 3 2 1 4 2 12 z l qly Myq y l Ia aa = c 正应力分布规律 2 max 3 3 4 ql a = t c t (b)根据变形协调， 上下两块梁上作用的分布荷载集度均为 q/2 2 4 3 3 22 1 12 Z ql ly Myq y Ia a a = l c 2 max 3 3 2 ql a = 正应力分布规律 t (c) 两块并排时 c 两块梁上作用的分布荷载集度均为 q/2 2 4 3 3 22 1 4 2 12 2 Z ql ly Myq y a Ia a = （ ） l 2 max 3 3 4 ql a = 正应力分布规律 4-8 4-8 一槽形截面悬臂梁，长 6m，受 q=5kN/m 的均布荷载作用，求距固定端为 0.5m 处 的截面上，距梁顶面 100mm 处 b-b 线上的切应力及 a-a 线上的切应力。 z y z 解： 根据切应力公式 * QZ Z F S I b =，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩 （1）剪力 Q 5 5.5=27.5kNF = （2）形心位置、形心惯性矩，如图 14 2 60 140 120280 50 25 76.82mm 2 60 140280 50 z + = + 32 32 1 2 (60 14060 140 (70(76.8250) ) 12 1 280 50280 50 (76.8250/ 2)9.9 10 mm 12 Z I=+ += 74 （3）b-b 处切应力 * 3 Q 784 27.5kN(60 100 63.18mm ) 1.77MPa 9.9 1010 mm60mm Z b b Z F S I b = （4）a-a 处切应力 由于 a-a 位于对称轴 y 轴上，故0 a a = 4-9 4-9 一梁由两个 18B 号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的 a-a 截面上，剪力为 18kN、弯矩为 55kNm，求 b-b 截面中性轴以下 40mm 处的正应力和切应力。 h C b 解：b-b 截面的剪力、弯矩分别为 Q 18304052kNF = 55 18 1.430 1 40 0.338.2kN mM =+ = C 18B 号槽钢的几何性质 180mmh =， 4 1369.9cm z I=70mmb =10.5mmt =,9mmd = 由正应力公式 3 8 38.2 100.04 55.77MPa 1369.9 2 10 C Z My I = 切应力公式 * 399 Q 83 52 10(70 10.5 84.75 109 39.5 59.75 10 ) 35.23MPa 1369.9 109 10 Z Z F S I d + = 15 4-10 4-10 一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为 5050mm 的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力 20kN，试求粘结层中的切应 力。 解：求中性轴位置和Iz zc 50 5 100 12.5 10cm 50 100 c z + = + 323 11 1212 2 5 1050 520 5100 2.5 2500cm z I = + = 2 z * 34 Q 8 20 1025 100.025 1.0MPa 2500 100.05 z z F S I b = 4-11 4-11 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面尺寸为 b、h，长度为l。 （1）证明在距自由端为 x 处的横截面上的切向分布内力dA 的合力等于该截面上的剪 力；而法向分布内力dA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。 (2)如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力沿梁长度的变 化规律如何?该面上总的水平剪力FQ有多大?它由什么力来平衡? 解： （1）取 x 截面左边部分，由其平衡 0 iy F = ，0 A dAqx= Q A dAqxF= = 0 i M = ，0 2 A x dA yqx+= ， 2 2 A qx dA yM= = （2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁， 因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布， 由切应力互等，截开面上的切应力沿梁长度是线性分布。 沿梁长度剪力方程 Q( ) Fxq= x，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为 Q 3( ) 3 ( ) 22 Fx qx x bhbh =，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力 2 Q 00 33 ( ) 24 ll qxql Fx bdxbdx bhh = = ，它由固定端约束力平衡。 4-12 4-12 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪 力FQ的方向竖直向下。 16 A z y y y z z A A 解： 4-14 4-14 图示铸铁梁，若 t =30MPa, c =60MPa,试校核此梁的强度。已知= z I764 10m。 84 解：(1)计算支座反力，作弯矩图 5 . 2 0 . 4 D C kN m (2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面） C 截面正弯矩最大 3 max tmaxt 8 2.5 100.088 28.80MPa 764 10 C Z M y I = c 3 max cmax 8 2.5 100.052 17.02MPa 764 10 C Z M y I = D 截面负弯矩最大 3 max tmaxt 8 4 100.052 27.23MPa 764 10 D Z M y I = c 3 max cmax 8 4 100.088 46.07MPa 764 10 D Z M y I = 符合强度要求 4-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m， =10MPa。试确 定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。 解： 22 11 66 () z 2 hb db=Wb 17 22 d 0 30 /3 d z W dbbd b = 故弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比为 h/b=2 3 33 max 6 12 10 1.2 10 m 10 10 z M W = 3 223 1 ()1.2 10 69 3 z d Wb db = 3 m，266mmd = 4-16 4-16 截面为 10 号工字钢的 AB 梁，B 点由 d=20mm 的圆钢杆 BC 支承，梁及杆的容许 应力=160MPa，试求容许均布荷载 q。 解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题 （1）对于 BC 拉杆 所受轴力 N 31.59 24 qq F = 由强度条件 N max 2 94 40.02 Fq A = q 0.75q A B 0.28125q 0.5q 1.25q A B 0.75m 得 22.34kN/mq （2）对于 AB 梁 其剪力弯矩图如图 FQ 工字钢横截面中性轴对称, 危险截面为弯矩绝对值最大的截面 由强度条件 max max 6 0.5 49 10 Z Mq W = M 得 15.68kN/mq 从而确定容许均布荷载q 15.68kN/m a 4-18 4-18 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。 设 EI 为已知。 在图(d)中的 E=2.0 10 5MPa，I=1.010 cm。 44 MA FAy 解:(a)（1）支座反力计算 Ay Fq=， 2 0.5 A Mqa= （2）列弯矩方程 2 1( ) 0.5Mxqaxqa=，(0)xa 22 2( ) 1.50.5 ()Mxqaxqaq xa=，(2axa) （3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程 18 2 1( ) 0.5EIw xqaxqa= +，(0)xa 22 2( ) 1.50.5 ()EIw xqaxqaq xa= +，(2axa) （4）积分一次 22 11 1 ( )0.5 2 EIxqaxqa xC= +，(0)xa 223 22 11 ( )1.50.5 () 23 EIxqaxqa xq xaC= +，(2axa) （5）再积分一次 322 11 11 ( )0.5 62 1 EIw xqaxqa xC xD= +，(0)xa 3224 222 111 ( )1.50.5 () 6212 EIw xqaxqa xq xaC xD= +，(2axa) （6）边界条件、连续光滑条件 11 0,0;0,0;xxw= 121 ,;, 2 xaxa ww= 由 1 0,0x=得；得 1 0C= 1 0,0xw= 1 0D= 由 12 ,xa=得； 3 2 Cq= a 12 ,xa ww=得 4 2 0.5Dq=a （7）从而 3 22 ( ) 6 Bxa qa x EI = =； 4 1( ) 12 Cx a qa ww x EI = = (c)（1）支座反力计算 0 Ay F=， B FF= （2）列弯矩方程 1( ) 0Mx=，(0)xa 2( ) ()MxF xa= ， (2axa) （3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程 FB FAy 1( ) 0EIw x=，(0)xa 2( ) ()EIw xF xa=， (2axa) （4）积分一次 11 ( )EIxC=，(0)xa 2 22 1 ( )() 2 EIxF xaC=+， (2axa) ( )EIw xC xD=+(0) （5）再积分一次 111， xa 3 222 1 ( )() 6 EIw xF xaC xD=+(2 )axa ， （6）边界条件、连续光滑条件 19 12 0,0;2 ,0;xwxa w= 121 ,;, 2 xaxa ww= 由得； 1 0,0xw= 1 0D= 12 ,xa=得 12 CC= 由 12 ,xa ww=得 21 0DD=；得 2 2 ,0;xa w= 2 2 12 Fa C= （7）从而 2 1( ) 12 Cx a Fa x EI = =； 3 1( ) 12 Cx a Fa ww x EI = = 4-19 4-19 对于下列各梁，要求： (1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。 (2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。 解： （a） （1）边界条件和连续光滑条件 11 0,0;0,0xxw= 2121 ,;,xlxl ww= 3232 2 ,;2 ,xlxl ww= （2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩， 下部受拉） （d） （1）边界条件和连续光滑条件 l 1 0,0xw=； 2 2 , 2 Fl xl wl EA = 2121 ,;,xlxl ww= （2）梁的挠曲线的大致形状如图 4-20 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。 解： （a）查表得 F 单独作用下 3 (3 ) ( ) 3 D Fl wF EI =， 2 (3 ) ( )(3 43 ) 6 B Fl wFll EI = Fl 单独作用下 2 (3 ) () 2 D Fll wFl EI =， 2 (4 ) () 2 B Fll wFl EI = 叠加得到 3 27 2 D Fl w EI =， 3 43 2 B Fl w EI = (c) 外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加） ql 2 简支梁上查表 322 2 (2 )(2 )5 ()() 481612 CCC qllqllql wwqlwql EIEIEI =+=+= 4 22 2 (2 )(2 )11 ()() 16312 DDD qllqllql qlql EIEIEI =+= = 3 悬臂梁上查表 20 2 1B qll EI = ，故 3 1 23 12 BBD ql EI =+= 4-21 4-21 图示悬臂梁，容许应力=160MPa，容许挠度w=l/400，截面为两个槽钢 组成，试选择槽钢的型号。设 E=200GPa。 解： （1）根据强度条件选择 槽钢横截面中性轴为对称轴 max max Z M W = 悬臂梁弯矩图如图 2 10 M /kNm 3 3 6 10 10 62.5cm 160 10 Z W = 查表，2 个 10 号槽钢截面 3 39.7279.4cm Z W =满足要求。 （2）刚度条件 自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法 3233323433 max 2 1044 1024 1022 1022 10220 10 (2)( 23286 w EIEIEIEIEIEI = += 3 2) l 从而由刚度条件ww max / 4000.01m= 得 3 max 20 10 0.01w EI =， 5 544 9 20 10 10 m1000cm 200 10 I = 查表，2 个 14a 号槽钢截面满足要求，故选择 2 个 14a 号槽钢。 4 563.721127.4cm Z I= 4-23 4-23 图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为I1， CD梁的惯性矩为I2，试求AB梁中点的挠度wC。 解：超静定问题，设 CD 梁与 AB 梁之间相互作用力为 F, 由于 CD 梁 C 端挠度与 AB 梁中点挠度相等，即 ()()C CDC AB ww= 3 3 21 ()( ) 2 348 l FF F l EIEI = 1 12 2 2 FI F II = + 1 2 故 33 112 4824(2) C F lFl w EIIIE = + 21 5-1 各单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。 解：由平面应力状态斜截面应力公式 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy x xy x + =+ =+ （a）20MPa x = ，50MPa y = ，70MPa x = ， o 60= 从而 o o oo 60 oo 60 7030 cos12070sin12018.12MPa 22 30 sin12070cos12047.99MPa 2 =+= = （d）20MPa x = ，40MPa y = ，0 x =， o 60= 从而 o o o 60 o 60 6020 cos( 120 )35MPa 22 20 sin( 120 )8.66MPa 2 =+= = 5-3 各单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求各单元体的主应力大小和方向，再用解 析公式法校核，并绘出主应力单元体。 解： （c）80MPa x =，20MPa y = ，30MPa x = 其应力圆绘制：在O坐标系里描出D1（x，x） 、D2（y，y） ，连接D1、D2两点与轴 交点C， 以C为圆心，C D1或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。 20 O C D2(-20,-30) D1(80,30) 从图上可知 1 88.31MPa=， 2 0=， 3 28.31MPa= ， o 0 15.48= 公式校核： 22 2222 1 2222 3 80208020 ()()3088.31MPa 2222 80208020 ()()3028.31MPa 2222 xyxy x xyxy x + + =+=+= + + =+=+= 2 0= （d）10MPa x =，10MPa y =，10MPa x = 其应力圆绘制：在O坐标系里描出D1（x，x） 、D2（y，y） ，连接D1、D2两点与轴 交点C， 以C为圆心，C D1或C D2为半径