高等工程数学-2--线性变换(Wi-1.ppt

第一章 线性空间和线性变换,1 线性空间,2 线性变换及其矩阵表示,3 内积空间,线性变换,定义,2 线性变换及其矩阵表示,设V1，V2为线性空间，若 V1V2的映射T 满足：对任意的 ，有,则称T 为 V1V2的线性变换.,例子,例 1,2 线性变换及其矩阵表示,在线性空间Pn(t)中定义变换,则 T 是Pn(t) 的线性变换.,？,Pn-1(t),给定 ， 则有,由矩阵的运算法则可知 A 是 的线性变换.,例 2,线性变换的性质,2 线性变换及其矩阵表示,也线性相关., 若 线性相关，则,问,是否也线性无关？,若 线性无关，问,线性变换的矩阵表示,2 线性变换及其矩阵表示,设 是Vn的一个基, 是Vm的一个基,T 是VnVm 的线性变换,称 A 为T 在基偶 , 下的矩阵.,T = T1,T2,Tn, A,像的坐标,2 线性变换及其矩阵表示,例 3,设 的线性变换T 定义为：,注：若T 是V 到自身的变换，则基偶可取为, 此时称T在基偶下的矩阵为 T在基下的矩阵.,2 线性变换及其矩阵表示,设 是Vn的一个基, 是Vm的一个基,对VnVm 的任一线性变换T，存在矩阵A，使得,T = A,对任意的 Vn，设 在基Vn下的坐标为x，则有,T =T( x ) = (T )x = Ax,即像T 在基Vm下的坐标为Ax.,可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究.,零空间与值空间,2 线性变换及其矩阵表示,则有,null T dim(T) = dim(A) = n rankA,rankT dim(T) = dim(A) = rankA,称nullT 为 T 的零度，rankA 为 T 的秩，且有,类似地定义,(T) = Vn | T = O ,(T) = Vm | =T， Vn ,称(T) 为 T 的零空间(核) 称(T) 为 T 的值空间(值域),2 线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设, 是Vn 的两个基， , 是Vm的两个基.,在基偶 , 下有 T= A,问,矩阵A与B有什么关系？,在基偶 , 下有 T = B,2 线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设, 是Vn 的两个基， , 是Vm的两个基.,在基偶 , 下有 T= A,在基偶 , 下有 T = B,设基变换渡矩阵分别为 P，Q ，即,线性变换在不同基偶下的矩阵是相互等价的.,=P， = Q,2 线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设T 是Vn 到自身的线性变换，, 是Vn 的两个基.,在基 下有 T= A,问,矩阵A与B有什么关系？,在基偶 下有 T = B,2 线性变换及其矩阵表示,变换在不同基偶下矩阵之间的关系,设T 是Vn 到自身的线性变换，, 是Vn 的两个基.,在基 下有 T= A,在基偶 下有 T = B,设基变换渡矩阵 P ，即 =P,线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是相似的,2 线性变换及其矩阵表示,即 与 等价,VnVm线性变换 T,即 与 相似,Vn到自身线性变换T,从现在开始主要研究 的线性变换。,2 线性变换及其矩阵表示,线性变换矩阵表示的化简,设T 是Vn 到自身的线性变换.,则 T 在基 =P 下的矩阵为,问题,怎样求基 ，使得T 在下的矩阵有较简单的形式？,分析：,任取V 的一个基 ，且T = A.,若将方阵 A 相似化简为 B ，即,考虑两种简单形式的矩阵： 分块对角阵, 对角矩阵,？,2 线性变换及其矩阵表示,不变子空间,定义,设T 是Vn 上的线性变换，W是Vn的子空间，若对任意的 W 有 TW ，则称W是 T 的不变子空间.,记T 的核与值域分别为,则(T) ， (T) 均是T 的不变子空间.,例 4,(T) = Vn | T = O ,(T) = Vm | =T， Vn ,2 线性变换及其矩阵表示,设W = span 1，2，r ，则有,例 5,W是T 的不变子空间,Ti W ( i = 1,2,r),均是 T 的不变子空间.(其中 Ai 是 i 阶方阵 ),设 = 是Vn 的基，则 T 在 下的矩阵是分块对角阵,的充要条件是,定理,2 线性变换及其矩阵表示,推论,设= 是 Vn 的基，则 T 在 下的矩阵是对角阵,的充要条件是存在数 使得,2 线性变换及其矩阵表示,若存在基 = ，使得线性变换T在 下的矩阵A是对角阵,则称 T 可对角化.,定义,对角化,2 线性变换及其矩阵表示,定义,设T 是 Vn 上的线性变换，若存在数 及 使得,则称 是T 的特征值， 是相应的特征向量.,定理,设T 是Vn上的线性变换，则,T 可对角化,A有 n 个线性无关的特征向量,特征值与特征向量,2 线性变换及其矩阵表示,问,怎样求T的特征值与特征向量？,问,是否与基 的选取有关？,2 线性变换及其矩阵表示,例 6,试