高考数学函数的最大值与最小值复习.pptVIP

(选修)第三章 导数,二、导数的应用,3.8.函数的最大值与最小值,若恒有,1、函数yf(x)在某个区间内可导，,2、对于可导函数,注意：,函数在极值点处连续,导数为0的点不一定是极值点,但不一定可导,一、复习与引入,3.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: 如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极大值; 如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极小值.,4.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.,5.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,设函数f(x)是定义在a,b上的函数,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).,(3)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(4)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.,三、例题选讲,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2:求函数 在区间-1,3上的最大值与 最小值.,解:,令 ,得,相应的函数值为:,又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0,比较得, f(x)在点 处取得最大值 在点 处取得最小值,四、应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q , 价格p与产量q的函数关系式为 ，求产量q为何值时,利润L最大。,利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.,分析:,五、小结,1.求在a,b上有定义,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.,3.应用问题要引起重视.,在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大(小)值,而且函数在这个定