高等数学-2期末复习.ppt

考察下列极限：,例. 设,求证：,例. 设,求证：,证明下列极限不存在。,求下列二元函数的极限:,求下列二元函数的累次极限,二重极限与累次极限的关系,1、当二重极限与累次极限都存在时,两种累次极限与二重极限相等.,例5:讨论函数,在原点处的累次极限与二重极限的存在性.,注意：二重极限与累次极限的存在性 之间并无必然联系。,二重极限存在，但是累次极限不存在的例子：,在（0，0）处,累次极限存在，但二重极限不存在的例子：,在（0，0）处,例5. 求函数,的二阶偏导数及,求某点的偏导数（期中考试）,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,例2. 计算函数,的全微分.,课堂练习：,求其偏导数及,（1）,（2）,判断函数在原点偏导数的存在性。,例：设,（1）求z的偏导数；,（2）讨论,的连续性。,二元函数有极限,二元函数连续,二元函数偏导数存在,二元函数偏导数连续,二元函数可微,对二元函数：,课堂练习,在（，0）处的全微分。,求：,讨论函数：,在原点的可微性。,例：求下列函数的全导数。,例1. 设,例. 设,求全导数,例,解:,已知：,例. 设,求,习题选讲：,1、证明,在原点的极限不存在，但两个累次极限都存在。,2,判断函数在原点偏导数的存在性。,3、设,（1）求z的偏导数；,（2）讨论,的连续性。,4、求曲线C：,在点（2，4，5）处的切线与x轴正半轴所成的倾斜角是多少？,5、设,求：,P56:A5,P56:B4,P62:A4,总复习题（选）,课堂练习,P56:A1(1)、2(2) 、4、5,P56:B4,课后作业：,P56:A1(2，3)、2(1) 、6,P56:B3、5,第八章：偏导数在经济问题中的应用。,第一节：常见的多元经济函数,需求函数：,供给函数：,总成本函数：,总收入函数：,总利润函数：,1、常见的一元经济函数,总效用函数：,边际成本MC,边际收益MR,边际利润ML,边际效用MU：,弹性：,需求函数：,供给函数：,总成本函数：,总收入函数：,总利润函数。,2、常见的多元经济函数,总效用函数。,生产函数：,生产函数：描述生产要素与最大产出之间的关系，不仅包括各要素与产出之间的关系，而且要包括要素之间的关系。,边际成本MC,边际收益MR,边际利润ML,边际效用MU：,边际产量：,二元函数的偏弹性：,简记为：,例.讨论函数,在点(0,0)是否取得极值.,在点(/2,1)是否取得极值.,例1.,求函数,的极值.,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,在点(0,0),例：求下列函数的极值,约束条件：,例.,求函数,的极值.,例.,求函数,满足下列约束条件时的极值.,求下列函数的极值。,满足条件：,课堂练习,P85A:(5)、B7,P85：A1(2) 、 4,第四节 极值在最优化问题中的应用,一、投入一定时的产量最大化问题,例：某企业的生产函数为,若资本与劳动价格分别为=250、=150，总投入A=50000，问最大产出是多少？,例3 P87 （仔细阅读其解法）：某电子集团为扩大手机和数码相机的生产，投入资金k元。根据以往经验知，欲使手机和数码相机分别增产x和y件，需分别增加投资,和,此时销售总收入将增加,万元，电子集团应该如何分配这k万元，才能使总收入增量最大，最大增量是多少？,万元,二、产量一定时的成本最小化问题。,例：某企业的生产函数为,若资本与劳动价格为=250、=150，问若要保持10000个单位的产量，问至少付出多少成本？,三、支出一定时的效用最大化问题,设消费者的效用函数为,若两种商品的价格分别为p1、p2，假设消费者的总收入为M，则求效用最大时的消费组合。,四、效用一定时，支出的最小化问题,设消费者的效用函数为,若两种商品的价格分别为p1、p2，假设消费者的总效用为U，则求支出最小时的消费组合。,作 业,P85A1(3,4),3,P93A1、2、3,第九章 二重积分,第九章,利用二重积分的定义求二重积分.,其中D为：, 为D 的面积, 则,结论：,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例. 比较下列积分的大小:,其中D由x，y轴及直线x+y=1围成。,例. 估计下列积分之值,例. 比较下列积分值的大小关系:,例：计算二重积分,其中D是由y=2x、y=x2围成的区域。,例：计算二重积分,其中D是由y=2x、y=x2围成的区域。,例：计算二重积分,其中D是由y=x、y=1,x=2围成的区域。,例：计算二重积分,其中D:,例：计算二重积分,其中D是由y=2x、x=2y、x+y=3围成的区域。,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,例：计算二重积分,其中D是由x=y及抛物线y2=x所围成的的区域。,解,课堂练习,P122：A1(1)、2（2）、3（3）、4（4）,二重积分的简单几何应用,1、求面积,求由y=x2 、y=2x 围成的图形的面积。,2、求体积：,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体体积。,求平面x+y+z=1与三个坐标平面围成的立体的体积。,例：计算二重积分,例：求下列二重积分。,围成的第一象限的部分。,无穷级数,第十章,例2. 判别下列级数的敛散性:,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,和为 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,结论: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,问题:,若两级数中一个收敛，一个发散 , 问,是收敛还是发散？,但若二级数都发散 ,又如何？,例如,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括号,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,例如,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,判断,收敛还是发散？,注意:,并非级数收敛的充分条件.,判断 调和级数,的敛散性。,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,1、等比级数,当|q|1时收敛，否则发散。,2、调和级数,发散。,3、P级数的敛散性,课堂练习,P156: A2,4(1、3、6） B1、2、3（2）,利用比较判别法判断正项级数的敛散性,例：判断下列正项级数的敛散性。,判断下列正项级数的敛散性。,的敛散性.,例4. 判别级数,判断下列级数的敛散性,判断下列级数的敛散性,课堂练习,P168 A2(1、3、5）、3（1、3、5）、4（1、4）,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,绝对收敛还是条件收敛 ？,例如 ：,呢？,呢？,定理8. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,一级数收敛、绝对收敛条件收敛的关系。,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,课堂练习,P168：6（1）（2），8,级数的敛散性判断,否,发散,正项级数,比值（极限）、根值判断法,比较判断法,交错级数：Leibnitz 判别法,绝对收敛,用部分和数列有