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5 对坐标的曲面积分,基本概念,对坐标的曲面积分的定义,对坐标的曲面积分的计算,概念的引入,两类曲面之间的联系,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、基本概念,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带(Mobius),典型单侧曲面:,播放,决定了侧的曲面称为有向曲面.,定义,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,曲面的投影问题:,思考题,思考题解答,此时 与oz轴成钝角，取下侧；,而 与oy轴成锐角，取右侧;,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,解,2.近似代替,1. 分割,3. 求和,4.取极限,三、对坐标的曲面积分的定义,定义 设,则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标 x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分),被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、对坐标的曲面积分的计算,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,X,Y,Z,五、两类曲面之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例3,解,解,小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面
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