高等数学第五章不定积分.ppt

高等数学,主讲：张文良,1、不定积分的概念与性质 2、换元积分法 3、分步积分法 4、有理函数的积分 5、简单无理函数的积分 6、积分表的使用,第四章 不定积分,1、理解原函数和不定积分的定义。 2、熟练掌握不定积分的基本性质和基本积 分公式。 3、掌握不定积分的换元积分法和分步积分 法。 4、会求有理函数的积分和一些可以有理化 函数的积分。,基本要求,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,连续函数一定有原函数.,(2) 原函数之间的关系:,例1 求,解,例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,注: 1) 求导数与求不定积分是互逆运算,2) 同一函数的不定积分的结果形式会不同,可用求导数的方法验证正确性.,实例,由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。,二、 基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,例4 求积分,解,证,等式成立。,（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）,三、 不定积分的性质（积分法则）,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7：求,解：原式,例8 求积分,解,注： 被积函数有时需要进行恒等变形，再使用基本积分表.,例9：求,解：原式,解,所求曲线方程为,第二节 换元积分法,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,换元,换回原变量,求导数验证结果,问题,第一类换元公式（凑微分法）,说明：,使用此公式的目的在于化难为易,定理1,难,易,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9：求,解：原式,例10：求,解：原式,解：原式=,例12 求,解,例13 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，可考虑拆开奇次项去凑微分.,例14 求,解,例15 求,解法一,类似地可推出,解法二,思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积,例16 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,再用“凑微分”,二、第二类换元法,难,易,证：只要证右端的导数等于左端的被积函数,定理2,由复合函数与反函数的导数，有,第二类积分换元公式,注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；,代换 x=(t)，一起换。,例17 求,解,令,例18 求,解,令,例19 求,解,令,说明1,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明2,积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明3,（三角代换很繁琐）,令,解,例21 求,解,令,说明4,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例23 求,解,令,（分母的阶较高）,倒代换,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,第三节 分部积分法,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,令,例5 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例6 求积分,解,例7 求积分,解,注意循环形式,解,解,解,第四节 几类特殊类型函数的积分,两个多项式的商表示的函数.,一、有理函数的积分,有理函数的定义:,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.,由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) (x-b) (x2 +px+q) (x2+rx+s),难点,将有理函数化为最简分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,分解后的部分分式必须是最简分式.,例4 求积分,解,例5 求积分,解,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,例9 求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,三、简单无理函数的积分,例10 求积分,解 令,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,例12 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,例13,解,例14 求,解,令,不 定 积 分,习 题 课,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种