吴老师第1讲数学物理方程的导出和定解条.ppt

数理方程,主讲教师：吴楚芬 联系方法第一讲,一、引言,问题一、什么是数学物理方程 ？ 数学物理方程通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。 用来描述物理规律（研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律，物理量：声压、质点位移、温度、电势、电场强度等）。,第一讲,问题二、为什么要研究数学物理方程 ？ 描述复杂物理现象、揭示其内在的物理规律。如：声波在一定环境下的传播规律。 在工程应用中，对物理规律进行预报：声传播损失的预报和传递函数的预报。 工程设计需要:比如超声换能器设计，声纳设计预报。,第一讲,图1.2 传播损失图2,第一讲,图1.1 传播损失图1,前后课程联系 ：,基础课程： 高等数学（一元和多元微积分，幂级数和Fourier 级数、微分方程、场论、线性代数） 普通物理（力、热、电、机械波（声） 复变函数（解析函数、解析延拓、留数定理、积分变换（Fourier和Laplace变换）,第一讲,参考教材：,数学物理方法学习指导(数学物理方法部分) 姚端正，高等教育出版社 数学物理方程. 季孝达等 .科学出版社，2005.,第一讲,考核方式,试卷成绩*70%+平时成绩*30%,Harbin Engineering University,第一讲,数学物理方法研究问题的步骤：,1、写出定解问题：包括泛定方程和定解条件，把物理的问题转化为数学语言（数学语言翻译物理规律）。 2、求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法、数值解法等。以上解法我们将在以后一一阐述。 3、分析解答：解出答案，需分析其意义及适定 性。适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。 4、对物理规律进行解释。,第一讲,第一讲：数学物理方程的导出和定解条件,1.1 数学物理方程的导出,导出步骤 确定物理量 :速度、位移、 研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾） 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理数学物理方程,第一讲,1、均匀弦的横振动方程,有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动列出弦的横振动方程。,第一讲,1、均匀弦的横振动方程,Harbin Engineering University,几点假设： 弦是柔软的：弦是柔软的，弦内相邻点之间只存在张力，张力沿着弦的切线方向，一个小段的振动必定带动它的邻段，而邻段又带动它自己的邻段，这样，一个小段的振动必然传播到整个弦。这种振动传播的现象叫作波。 忽略弦所受重力的影响 弦没有纵向振动。 弦的横向振幅很小。,第一讲,均匀弦的横振动方程推导,1、确定物理量：位移量 2、研究邻近点的相互作用： 受力分析 3、短时间内这种相互作用对所 研究物理量的影响： 物理定律：F=ma 4、数学语言描述，并简化整理数学物理方程,第一讲,建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：,进行受力分析 ：,（1）,（2）,所取小段的纵向和横向运动方程分别为：,弦的横向加速度,方程推导续：,因为 是小量，利用泰勒展开，可有以下近似：,（1）（2）两式可化为：,（3）,（4）,弦中各点的张力T相等；张力既跟空间量无关，由于时间无关，记为常数T。进而：,（5）,第一讲,因为dx很小， 所以：,（5）,（6）,（7）,（8）弦自由振动方程,a为弦横振动的传播速度。,第一讲,受迫振动方程：,当弦在振动过程中还受到外加的横向的作用力时，设每单位长度弦所受的横向力为F (x,t),则（2）式应修改为：,（2）,（9）,第一讲,受迫振动方程续：,（10） 受迫振动方程,（8）,其中：,为力密度，表示单位质量所受的外力。,第一讲,2.均匀杆的纵振动方程,第一讲,利用牛顿运动定律建立方程： 位移变量 应变 应力,胡克定律：应力和应变成正比,Y：杨氏模量，即物体单位应变所产 生的应力 应力：单位面积上所受到的力,2.均匀杆的纵振动方程,第一讲,2.均匀杆的纵振动方程,第一讲,纵振动在杆中的传播速度,杆的纵振动方程,每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F,杆的受迫振动方程,3热传导方程,物理定律： 能量守恒定律和热传导的Fourier定律 热传导的Fourier定律： 若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比。,q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率,三维空间,第一讲,热传导方程续：,图1.5 热传导方程选取的体元,时间内沿x方向流入体元的热量：,建模： 选取以长方体为体元 则：,（11）,第一讲,时间内沿y方向流入体元的热量：,时间内沿z方向流入体元的热量：,（12）,（13）,能量守恒定律： 净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所 需要的热量。,第一讲,（14）,这里 是介质的密度，c是比热容,记：,Laplace 算子,（16）,（15）,扩散率，或温度传导率,第一讲,介质内存在热源时,如果在介质内有热量产生（例如，有化学反应发生，或者通有电流，），单位时间内单位体积介质产生的热量为F (x,y,z,t),（14）,F (x,y,z,t),（17）,（18）,第一讲,3、稳态问题,稳定温度分布： 在一定条件下，物体的温度达到稳定，即不随时间变化时，则温度分布满足Poisson（泊松）方程：,没有热源或者汇 ，即 f = 0,Poisson 方程,Laplace 方程,（20）,（19）,第一讲,4、小结:,物理上： 反映波动过程的波动方程 反映扩散过程的热传导方程 反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程 数学上： 波动方程，在数学上属于双曲型方程 热传导方程，在数学上属于抛物型方程 Poisson方程和Laplace方程，在数学上属于椭圆型方程,Harbin Engineering University,第一讲,1.2 定解条件,引入定解条件的必要性： 从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的运动需要附加条件。 从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定，这些附加的条件就是初始条件和边界条件，统称为定解条件。 包含初始条件和边界条件,第一讲,初始条件,定义：我们在求解含有时间变量t的数理方程时，往往必须追溯到某个所谓“初始时刻”的状况，我们称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件应该完全描写初始时刻（t = 0 时）介质内部及边界上任意一点的状况。,弦的振动方程：给出两个初始条件，即初始时刻的位移和速度,热传导方程：初始时刻的温度,初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数,第一讲,初始条件续：,无初始条件的情况： 系统在周期性“外力”驱动下，只关心其稳态响应。如：水声中, 单频稳态激励的辐射声场 稳定场问题：如静电场、稳定的浓度分布和温度分布等。,第一讲,F,边界条件,定义：我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理过程边界状况的数学表达式为边界条件。,如：弦的横振动过程，弦的“两端固定”，边界条件就是：,两端自由：,一端自由，一端固定？,两端受外力的情况？,第一讲,三类边界条件,第一类边界条件（Dirichlet条件（狄利克莱）,给出边界上各点的函数值 第二类边界条件（Neuman条件（纽曼）,给出边界上各点函数法向微商值 第三类边界条件（混合边界条件）：给出边界上各点函数值与法向微商值之间的线性关系,第一讲,边界条件续：,当 f0 时的边界条件称为齐次的。前面的三类边界条 件分别为第一、第二、第三类齐次边界条件。 边界条件的个数： 与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。 边界条件的关键点： 只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统 无边界条件 半无界：研究靠近一端边界的有限时间内的场。 完全无界：研究远离边界的有限时间内的场 例：弦，海洋中有限时间内脉冲声源近场,第一讲,其他边界条件 ：,1、衔接条件 背景：系统中出现跳跃点。 研究方法：具体问题具体分析，在跳跃点处寻找连续条件。 2、自然边界条件 边界值为有限的： 周期边界条件 ：,第一讲,2、自然边界条件：,边界值为有限的： 周期边界条件 ：,欧拉方程：,自然边界条件,三类定解问题 ：,初值问题：如无界弦自由振动,边值问题： 狄氏问题,混合问题：两端固定弦的振动,第一讲,基本概念 ： 物理场 物理量的空间分布规律。它可以是一维的也可以是二维、三维的；它可以是时变的，也可以是非时变的。 例：水声场（时变）、点电荷静电场、电磁场 边界条件 所研究物理量的周围环境的物理状况场的环境问题。 例：扬声器在室内和室外声场的区别,第一讲,基本概念 2：,初始条件： 所研究的物理量在初始时刻的物理状态 例：不同初始速度加速运动的物体 定解条件： 边界条件初始条件 泛定方程