偏导数与全微分(4).ppt

8.2 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、高阶偏导数,三、全微分,偏增量,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量,称为关于x的偏增量记为,相应的,即,一、偏导数的定义及其计算法,1.偏导数的定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作,即,记为,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作,2.偏导函数:,类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为,记作,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分 母之商.这一点与一元函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.,3.偏导数的求法,对于函数,只要把y看作常量而对x求导数；,只要把x看作常量而对y求导数；,解,分析：,记,则,求一点偏导数的方法：,1.先求偏导函数，再代值；,3.分段函数在分段点用定义。,2.,证,原结论成立,例3. 求,的偏导数 .,解:,4.二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,例4 设,求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.,解 原点(0,0)处对x的偏导数为,在原点(0,0)处对y的偏导数为,5.偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,解,解,问题：,混合偏导数都相等吗？,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,说明:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等,解,证毕,（1）全增量的概念,三、全微分,1.定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,（2）全微分的定义,证：由,2.可微分与连续,3.可微的条件,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,同样可证,证:因函数在点(x, y) 可微, 故,得到对 x 的偏增量,因此有,定理(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点的偏导数,必存在,且有,注意: 定理 的逆定理不成立 .,多元函数偏导数存在函数 不一定可微 !,一元函数在某点的导数存在是微分存在的充要条件，,对于多元函数，当函数的各偏导数都存在时，虽然,能形式地写出,，但它与,之差并不,一定是较,高阶的无穷小，因此它不一定是函数,的全微分。即：,如: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,定理2(充分条件),若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,例8 求 在点(2,1)处的全微分.,解 由于 与 是连续函数，且,所以在点(2,1)处的全微分为,例9 求 的全微分.,解,多元函数连续、可导、可微的关系,小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关