偏导数与微分法-少课时-2011-N.ppt

微积分,2019年5月24日星期五,1,3.7 偏导数与微分法,微积分,2019年5月24日星期五,2,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,微积分,2019年5月24日星期五,3,设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，若固定,定义,y=y0时，一元函数z=f(x,y0)在x=x0可导，即极限,存在，则称A为z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于x的偏导数，记作：,一、偏导数,微积分,2019年5月24日星期五,4,类似可定义z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于y的偏导数，即,变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数,微积分,2019年5月24日星期五,5,定义,z=f(x,y)在D上偏导数存在。记作,显然这里的偏导数也是作为(偏导)函数来看的。,计算偏导数fx(x,y)，即把y看作一个常数，对x求导数。同样的，若求fy(x,y)，则把x看作常数对y求导数。,微积分,2019年5月24日星期五,6,下面讨论偏导数的计算方法,微积分,2019年5月24日星期五,7,函数导数的定义进行的.,微积分,2019年5月24日星期五,8,忘记了, 请赶快复习一下.,如果一元函数的求导方法和公式,微积分,2019年5月24日星期五,9,微积分,2019年5月24日星期五,10,微积分,2019年5月24日星期五,11,多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.,微积分,2019年5月24日星期五,12,解,微积分,2019年5月24日星期五,13,由定义,此例也可用下列方式求解,但最好采用前一种方法.,微积分,2019年5月24日星期五,14,将 y 看成常数,将 x 看成常数,解,微积分,2019年5月24日星期五,15,将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.,将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.,解,微积分,2019年5月24日星期五,16,以上的叙述虽然是对二元函数,元及其以上的多元函数中去.,进行的, 但其结论可直接推广到三,微积分,2019年5月24日星期五,17,求,的偏导数。,解,微积分,2019年5月24日星期五,18,微积分,2019年5月24日星期五,19,警告各位！,微积分,2019年5月24日星期五,20,二、 高阶偏导数,多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.,一般说来, 在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数,仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数,的二阶偏导数.,依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.,仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数,微积分,2019年5月24日星期五,21,微积分,2019年5月24日星期五,22,微积分,2019年5月24日星期五,23,高阶偏导数还可使用下列记号,二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项,微积分,2019年5月24日星期五,24,先求一阶偏导数：,再求二阶偏导数：,解,微积分,2019年5月24日星期五,25,解,二阶混合偏导数：,发现两个混合偏导数相等,一般性？,微积分,2019年5月24日星期五,26,解,微积分,2019年5月24日星期五,27,定理,废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.,有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！,微积分,2019年5月24日星期五,28,多元函数经复合运算后, 一般仍,是多元函数, 但也可能成为一元函数.,按前面关于多元函数的讨论方法, 复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始.,三、复合函数微分法,微积分,2019年5月24日星期五,29,一元复合函数,求导法则,微分法则,微积分,2019年5月24日星期五,30,下面看另一种解法.,解一,微积分,2019年5月24日星期五,31,解二,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？,+,微积分,2019年5月24日星期五,32,将例中的情形进行一般性的描述,微积分,2019年5月24日星期五,33,定理 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可偏导,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且,微积分,2019年5月24日星期五,34,解法一: 将 u,v 带入 解出偏导数;,解法二: 用链导法:,微积分,2019年5月24日星期五,35,解,微积分,2019年5月24日星期五,36,注意：,都可以看作求导运算。,微积分,2019年5月24日星期五,37,第3.8节 隐函数的微分法,微积分,2019年5月24日星期五,38,定理,则由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在(x0,y0)的导数为,微积分,2019年5月24日星期五,39,第3.9节 全微分,微积分,2019年5月24日星期五,40,微积分,2019年5月24日星期五,41,答案,5,答案,4,答案,6,答案,微积分,2019年5月24日星期五,42,微积分,2019年5月24日星期五,43,常函数和指数函数 走在街上,微积分,2019