函数、导数及其应用.ppt

第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的定义域和值域 第三节 函数的单调性与最值 第四节 函数的奇偶数与周期性 第五节 二次函数与幂函数 第六节 指数与指数函数 第七节 对数与对数函数,目 录,第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数的图像 第九节 函数与方程 第十节 函数模型及其应用 第十一节 导数及其运算 第十二节 导数的应用（） 第十三节 导数的应用（） 专家讲坛,目 录,1.了解构成函数的要素，了解映射的概念 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法)表示函数 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.,考 什 么,备考方向要明了,1.考查方式多为选择题或填空题 2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与 解析式更是高考的常客，如2011年湖南T16等 3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值， 由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如 2012福建T9等.,怎 么 考,1函数与映射的概念,非空集合,任意,唯一确定,f：AB,f：AB,任意,唯一确定,3相等函数 如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数 探究 2.若两个函数的定义域与值域相同，它们是否是同一个函数？ 提示：不一定如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如ysin x与ycos x，其定义域都为R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应法则完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一个函数,定义域,对应关系,4函数的表示方法 表示函数的常用方法有： 、 和 5分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数,列表法,解析法,图象法,并集,并集,对应关系,答案：B,2(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的 有 ( ) 集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应 集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； 集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；,集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生 A1个 B2个 C3个 D4个 解析：由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合A到集合B的映射.,答案：C,答案：D,函数与映射的概念,答案 (2) (3),1判断两个变量之间是否存在函数关系的方法 要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到惟一的函数值y与之对应 2判断两个函数是否为同一函数的方法 判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断,x,x1,1x2,x2,y,1,2,3,f1：y2x；f2：如图所示 解：不同函数f1(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R. 同一函数x与y的对应法则完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式 同一函数理由同.,求函数的解析式,例2 (1)已知f(x1)x24x1，求f(x)的解析式 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)f(x)2x9.求f(x) 自主解答 (1)法一：(换元法)设x1t，则xt1， f(t)(t1)24(t1)1， 即f(t)t22t2. 所求函数为f(x)x22x2.,分段函数求值,答案 B,解析：x1，f(x)2x1，f(0)2. 由f(f(0)4a，得f(2)4a，x1，f(x)x2ax， 4a42a，解得a2. 答案：C,数学思想分类讨论思想在分段函数中的应用 当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现,答案：C,答案：(，2)(2，),“演练知能检测”见“限时集训（四）”,1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢 爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 ( ),解析：根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B图象与事实相吻合,答案：B,2下列对应关系是集合P上的函数的是_ (1)PZ，QN*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； (2)P1,1，2,2，Q1,4，对应法则：f：xyx2，xP，yQ； (3)P三角形，Qx|x0，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应 解析：对于(1)，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P不是数集，故(3)不是函数；(2)正确 答案：(2),备考方向要明了,1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出 现在高考试题的客观题中，且多与集合问 题相交汇，考查与对数函数、分式函数、 根式函数有关的定义域问题如：2012 年山东T3，安徽T2，广东T11等 2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通 常与不等式恒成立等问题相结合作为函数 综合问题中的某一问出现在试卷中.,会求简单函数的定义域和值域.,怎 么 考,考什么,1常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母 (2)偶次根式函数被开方式 . (3)一次函数、二次函数的定义域均为 . (4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为_. (5)ylogax(a0且a1)的定义域为 (6)ytan x的定义域为 . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约,不等于零,大于或等于0,R,(0，),R,2基本初等函数的值域 (1)ykxb(k0)的值域是 . (2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0且a1)的值域是y|y0 (5)ylogax(a0且a1)的值域是 . (6)ysin x，ycos x的值域是 (7)ytan x的值域是 .,R,y|y0,R,1,1,R,2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集,5,4,3,2,y,15x20,10x15,5x10,0x5,x,求函数的定义域,本例(2)改为f(x)的定义域为0,3，求yf(x21)的定义域 解：yf(x)的定义域为0,3， 0x213， 解得2x1或1x2， 所以函数定义域为2，11,2,求函数的值域,解：(1)(配方法)yx22x(x1)21， 0x3， 1x14.1(x1)216.0y15， 即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15,与定义域、值域有关的参数问题,答案：6,易误警示与定义域有关的易错问题,答案 (，1(1,1,“演练知能检测”见“限时集训（五）”,备考方向要明了,1.函数的单调性，是高考考查的重中之 重，主要考查求函数的单调区间、利 用函数的单调性比较函数值的大小、利 用函数单调性求函数值域或最值、利用 函数的单调性解不等式等相关问题 2.函数的最值问题是每年高考的必考内 容，一般情况下，不会对最值问题单独 命题，主要是结合其他知识综合在一起 考查，主要考查求最值的基本方法.,1.理解函数的 单调性、最 大值、最小 值及其几何 意义. 2.会利用函数 的图象理解 和研究函数 的性质.,怎 么 考,考 什 么,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),逐渐上升的,逐渐下降的,(2)如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在区间D具有(严格的)单调性这一区间叫做yf(x)的单调区间,增函数,减函数,提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结,2函数f(x)在区间a，b上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为a，b含义相同吗？ 提示：含义不同f(x)在区间a，b上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为a，b意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增,2函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,探究 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？ 提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值,函数单调性的判断或证明,求函数的单调区间, ,1求函数单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行, ,2求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤 (1)确定定义域； (2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间； (4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”,由函数的单调性求参数的值(或范围),函数的最值与应用, , ,易误警示分段函数单调性中的误区,“演练知能检测”见“限时集训（六）”,备考方向要明了,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应 用简单函数的周期性.,考 什 么,1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶 性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海 T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调 性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，天津T6等 2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空 的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调 性、奇偶性相结合命题，如2012年湖南T9，浙江 T16等,怎 么 考,1函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,探究 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件 2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，是否有f(0)0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21. 3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个,2周期性 (1)周期函数： 对于函数y f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称y f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),最小,最小正数,探究 4.若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗？ 提示：不一定由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n0时，nT是f(x)的一个周期,判断函数的奇偶性,(2)函数定义域为(，0)(0，)，关于原点对称， 又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)； 当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数,函数奇偶性的应用,答案 (1)3 (2)2, ,与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式, ,(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.,函数的周期性及其应用,创新交汇与奇偶性、周期性有关的交汇问题,1函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主,2根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题,“演练知能检测”见“限时集训（七）”,考 什 么,1.以集合为载体，考查二次方程的解集，二次函数的定义域、值域或二次不等式的解集，如2012年新课标全国T1，北京T1等 2.以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如2012年北京T4等 3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点，如2012年江苏T13等.,怎 么 考,1二次函数的解析式 (1)一般式：f(x) ； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x) ； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x) ,ax2bxc(a0),a(xh)2k(a0),a(xx1)(xx2)(a0),2二次函数的图象和性质,a0,a0,图象,定义域,xR,值域,a0,a0,单调性,奇偶性,b0时为偶函数，b0既不是奇函数也不是偶函数,图象特点,探究 1.ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？,3幂函数的定义 形如 (R)的函数称为幂函数，其中x是 ，为 ,yx,自变量,常数,4五种幂函数的图象,5五种幂函数的性质,0，),(，0),(0，),0，),0，),(，0)(0，),R,R,R,R,R,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,0，),(，0,增,增,(0，),(，0),探究 2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？ 提示：幂函数yx，当x0时，根据幂运算，幂函数yx0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内,提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下,二次函数的解析式,例1 已知二次函数f(x)同时满足以下条件： (1)f(1x)f(1x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)0的两根的立方和等于17. 求f(x)的解析式,自主解答 依条件，设f(x)a(x1)215(a0)， 即f(x)ax22axa15. 令f(x)0，即ax22axa150，,在本例条件下，若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，求g(x)的解析式 解：设p(x，y)是函数g(x)图象上的任意一点，它关于原点对称的点p(x，y)必在f(x)的图象上 则y6(x)212(x)9， 即y6x212x9. 故g(x)6x212x9.,1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的 线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式,解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2. 又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0) 又f(x)的图象过点(4,3)， 3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.,二次函数的图象和性质,例2 (2012盐城模拟)已知函数f(x)x22ax3，x4,6 (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数； (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间,自主解答 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21. 又x4,6， 函数f(x)在4,2上为减函数，在2,6上为增函数 f(x)maxf(4)(42)2135， f(x)minf(2)1. (2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa， 且f(x)在4,6上是单调函数， a6或a4，即a6或a4.,幂函数的图象和性质,数学思想分类讨论在求二次函数最值中的应用,二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论 典例 (2013青岛模拟)已知f(x)ax22x (0x1)，求f(x)的最小值,2(2013玉林模拟)是否存在实数a，使函数f(x)x2 2axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由,“演练知能检测”见“限时集训（八）”,1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌 握指数函数图象通过的特殊点 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.,考 什 么,备考方向要明了,1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函数的值域 以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如 2012年山东T15等 2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与对数的运 算、数值的大小比较等相结合，如2012年天津T4 等.,怎 么 考,1根式 (1)根式的概念：,xna,正数,负数,相反数,(2)两个重要公式：,a,a,-a,a,提示：当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0.,2有理数指数幂 (1)幂的有关概念： 正分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1)； 负分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1)； 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的性质： aras (a0，r，sQ)； (ar)s (a0，r，sQ)； (ab)r (a 0，b0，rQ),无意义,0,ars,ars,arbr,R,(0，),(0,1),y1,0y1,0y1,y1,减函数,增函数,3.指数函数的图象与性质,探究 2如图是指数函数(1) yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx 的图象，底数a，b，c，d与1之间的 大小关系如何？你能得到什么规律？ 提示：图中直线x1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大,指数幂的运算,指数函数的图象及应用,指数函数的性质及应用,4设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大 值是14，求a的值,(2)解指数不等式 形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式 3个注重点指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题 (1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数,(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究 (3)对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.,创新交汇指数函数与不等式的交汇问题,1高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题 2解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解,1本题有以下创新点 (1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式 (2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想 2解决本题的关键有以下两点 (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题 (2)构造函数，并利用其单调性解决问题,“演练知能检测”见“限时集训（九）”,备考方向要明了,1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将 一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简 化运算中的作用 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握 对数函数图象通过的特殊点 3.知道对数函数是一类重要的函数模型 4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数 (a0，且a1).,考 什 么,1.以对数运算法则为依据，考查对数运算、求函数值、 对数式与指数式的互化等，如2012年安徽T3等 2.以考查对数函数的单调性为目的，考查函数值的大小 比较、解简单的对数不等式等，如2012上海T20等 3.以对数函数为载体，以对数函数的性质为核心，结合 其他知识命题，如利用数形结合思想判断解的个数、 与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围 等.,怎 么 考,logaMlogaN,logaMlogaN,3对数函数的图象与性质,(0，),(1,0),R,增函数,减函数,探究 2.对数logab为正数、负数的条件分别是什么？,3如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？,提示：图中直线y1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，0cd1ab，在x轴上方由左到右底数逐渐增大，在x轴下方由左到右底数逐渐减小,对数式的化简与求值,保持本例(2)条件不变，求loga24的值 解：loga24loga3loga8loga33loga2n3m.,对数函数的图象及应用,对数函数的性质及应用,例3 已知函数f(x)loga(3ax) (1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由,4(2012上海高考改编)已知函数f(x)lg(x1) (1)若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围； (2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的解析式,4种方法解决对数运算问题的方法 (1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积，再展开； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； (4)利用常用对数中的lg 2lg 51.,2个应用对数函数单调性的应用 (1)比较对数式的大小： 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较 (2)解对数不等式： 形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式.,数学思想利用数形结合思想，求解对数不等式问题,中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合“数”与“形”反映了事物两个方面的属性我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应法则，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的,“演练知能检测”见“限时集训（十）”,备考方向要明了,1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表 法、解析法表示函数 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解 的个数与不等式的解的问题 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.,考 什 么,高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考查函数图象的判断及应用 1.对图象的判断主要有以下两种：(1)根据所给函数解析 式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变 化规律，根据图象变换得出所求函数的图象，如2012 年四川T4，湖北T6等,怎 么 考,(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或 函数图象的特殊点得出所求函数的图象，如2012 年山东T10等 2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单 调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数 等，如2012年新课标全国T11，天津T14等,怎 么 考,1利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线,探究 1.函数yf(x)的图象关于原点对称与函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称一致吗？ 提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称 2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事函数yf(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称,3若函数yf(x)的图象关于点(a,0)(a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？ 提示：向左平移a个单位即可；解析式变为yf(xa),作函数的图象,例1 分别画出下列函数的图象： (1)y|lg(x1)|；(2)y2x11； (3)yx2|x|2.,自主解答 (1)首先作出ylgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图(1)所示(实线部分),识图与辨图,函数图象的应用,4.解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点： (1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成 (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力 (3)训练由图分析其函数性质的解题技巧,“演练知能检 测”见“限时 集训（十一）”,备考方向要明了,1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近 似解.,考 什 么,高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面： (1)结合函数与方程的关系，求函数的零点； (2)结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点及零点个数(方程是否存在实数根及方程根的个数)进行判断，如2012年天津T4，辽宁T11，湖北T9等 (3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围.,怎 么 考,f(x)0,x轴,零点,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,3函数零点具有哪些性质？ 提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),3.二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f(a)f(b)0,一分为二,5,4,3,2,1,x2,20.09,7.39,2.72,1,0.37,ex,3,2,1,0,1,x,确定函数零点所在的区间,若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1)(kZ)内，则k为何值？,答案：2,判断函数零点个数,根据函数零点的存在情况求参数,1个口诀用二分法求函数零点的方法 用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断 3种方法判断函数零点所在区间的方法 判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法： (1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；,数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题,在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决,“演练知能检 测”见“限时 集训（十二）”,备考方向要明了,1.函数模型考查的重点是函 数模型的建立以及函数模 型中的最值问题，命题的 热点是二次函数的最值或 利用基本不等式求解最值 ，如2012年江苏T17等 2.考查题型以解答题为主.,1.了解指数函数、对数函数以 及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数类型增长的 含义 2.了解函数模型(如指数函数 、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型)的广泛应用.,怎 么 考,考 什 么,1几种常见的函数模型,f(x)axnb(a，b，n为常数， a0，n0),幂函数模型,f(x)blogaxc (a，b，c为常数，a0且a1，b0),对数函数模型,f(x)baxc(a，b，c为常数， a0且a1，b0),指数函数模型,f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0),二次函数模型,f(x)axb(a，b为常数，a0),一次函数模型,函数解析式,函数模型,2.三种函数模型性质比较,递增,递增,递增,快,慢,y,x,探究 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？ 提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢 2你认为解答数学应用题的关键是什么？ 提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型,2.61,2.35,1.98,1.59,0.97,y,6.12,5.10,3.94,3.00,1.95,x,利用函数刻画实际问题,利用已知函数模型解决实际问题,利用函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题,构建函数模型解决实际问题,例3 某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元),(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)； (2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值,把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关 (1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口 (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型,3某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超 过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨) (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费,解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x4，且5x4时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x4时， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.,1个防范实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 1个步骤解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；,(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：,答题模板函数实际应用问题的答题模板,快速规范审题,3建联系，找解题突破口,准确规范答题,答题模板速成,解决函数实际应用问题的一般步骤：,“演练知能检 测”见“限时 集训（十三）”,1A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建 一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度 (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？,3某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天) 组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：,第t天,4,10,16,22,Q(万股),36,30,24,18,(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式； (3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？,备考方向要明了,考 什 么,1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年辽宁T12等 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用.,怎 么 考,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_ _ ,(3)函数f(x)的导函数： 称函数f(x) _为f(x)的导函数,P(x0，f0),切线的斜率,y y 0,f(x0)(xx0),探究 1.f(x)与f(x0)有何区别与联系？ 提示：f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值 2曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是惟一的一条切线 (2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条,3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点,二、基本初等函数的导数公式,nxn1,cos x,sin x,axln a,ex,0,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_； (3) _(g(x)0),f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),导数的计算,求函数的导数的方法 (1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量,导数的几何意义,答案 (1)4,若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？,1求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为yy0f(x0)(xx0) 2求曲线切线方程需注意两点 (1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0； (2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解,导数几何意义的应用,答案：(，1),1个区别“过某点”与“在某点”的区别 曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点 4个防范导数运算及切线的理解应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆,(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错 (3)