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,第2节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、 小结,一、泰勒级数,上节例题,给定函数 ，是否存在幂级数，使其在收敛域内以 为和函数？即,解决的是已知幂级数，求其和函数。若,若这样的幂级数存在，则称 可以展开成幂级数。,若,，则,若上式中的 趋向于无穷，则我们得到一个幂级数：,（1）,（1）式称为函数 在 的泰勒级数。,当,可见,在x=0点任意阶可导,证明 设,则,其中,从而有,所以,证毕。,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,注：Taylor展开式是唯一的。,若,则 在 内可展开为泰勒级数.,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,几个常见函数的麦克劳林级数,容易证明,例2,解,所以,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,级数。(书）,因为,所以,例5,解,例6,解,故,于是,例7 将,展开成麦克劳林级数。,解 由,求两次导数得,所以,例8(060107),将函数 展开成 的幂级数.,解,令,例9 求幂级数,的收敛域及和函数。,解 因为,所以收敛区间为,又因为,所以,三、欧拉公式,由,定义,其中,四、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数
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