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第三章 函数极限,二 函数极限的性质,2,函数极限的性,质,在,1,中我,们,引入了下述六,种类,型的函数极限：,1,）,(,),x,f,x,+,lim,；,2,）,(,),x,f,x,-,lim,；,3,）,(,),x,f,x,lim,；,4,）,(,),x,f,x,x,+,0,lim,；,5,）,(,),x,f,x,x,-,0,lim,；,6,）,(,),x,f,x,x,0,lim,它,们,具有与数列极限相,类,似的一些性,质，,下面以第,6,）,种类,型的极限,为,代表来叙述,并,证,明,这,些性,质,。至于其他,类,型极限的性,质,及其,证,明，只要相,应,的作些修改即可。,定理1(函数极限的唯一性),如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的,证明,定理1(函数极限的唯一性),定理2(函数极限的局部有界性),如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的,证明,定理3(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数r0 (或f(x) -r 0),证明,推论,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),定理4(函数极限的保不等式性),证明,定理5(函数极限的迫敛性),如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) f(x)h(x)g(x) (2)lim f(x)A limg(x)A 那么limh(x)存在 且lim h(x)A,证明,此性质又称为夹逼准则.,注意:,夹逼定理示意图,.,的极限是容易求的,与,并且,键是构造出,利用夹逼准则求极限关,f,g,f(x),g(x)与,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n ,定理6.极限的四则运算法则,利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些 较复杂的极限,例1,求,解,由第一章第3节习题12，知当,时有,而,故由迫敛性得,另一方面，当,时有,综上，我们得到,故由迫敛性又可得,例2 求,解,由,及第一节例4所得的,并按四则运算法则有,例3,求极限,解,对任意正整数k，当,时有,故,例4,证明,证,任给,为使,（9）,即,利用对数函数,时的严格增性,只要,（不妨设,于是，令,则当,时，就有（9）式成立。,（当,解,例5,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例6,讨论,提示,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解:,例7,解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 我们将在下节讨论.,例7,(1), 唯一性;,作业,小结,(2), 局部有界性;,(3), 局
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