函数的单调性(102).ppt

2.3 函数的单调性,基础知识 自主学习,要点梳理 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义,f（x1）f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_或_，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性， _叫做f（x）的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f（x）M,f（x0）=M,f（x）M,f（x0）=M,基础自测 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 ( ) A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D. 解析 y=-x+1,y=x2-4x+5, 分别为一次函 数、 二次函数、反比例函数,从它们的图象上可 以看出在（0，2）上都是减函数.,B,2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 （ ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 解析 f（x）在R上是增函数， 对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意xR都有f(x)0,则f(x)=0无根.,C,3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 （ ） A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D.（-,-1)(1,+) 解析 由已知条件： 不等式等价于 解得-1x1,且x0.,C,4.函数y=(2k+1)x+b在（-，+）上是减函数，则 ( ) A. B. C. D. 解析 使y=(2k+1)x+b在（-，+）上是减函数， 则2k+10，即,D,5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题： (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为_. 解析 依据增函数的定义可知，对于，当自变 量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推 出函数y=f（x）为增函数.,题型分类 深度剖析 题型一 函数单调性的判断 判断下列函数的单调性，并证明. 先判断单调性，再用单调性的定义 证明.（1）采用通分进行变形，（2）采用因式 分解进行变形，（3）采用分子有理化的方式进 行变形.,思维启迪,解 （1）函数 下面采用定义证明: 任取x1、x2（-1，+），且-10,x2+10,x2-x10. 即f(x1)-f(x2)0，所以f(x1)f(x2).,故 在（-1，+）上为减函数. （2）函数f(x)=-x2+2x+1在1,+）上为减函数， 证明如下： 任取x1、x2R，且x2x11, 则f(x1)-f(x2)= =(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2) =(x2-x1)(x2+x1-2). x2x11,x2-x10,x2+x12,x2+x1-20, f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)0, 即有f(x1)f(x2).,故函数f(x)=-x2+2x+1在1,+）上是减函数. （3）函数f(x)= 在-1，+）上为增函数， 证明如下： 任取x1、x2-1,+）且-1x1x2， 则有x1-x20，,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 故函数f(x)= 在-1,+）上为增函数. 对于给出具体解析式的函数，判断或 证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义 （基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断） 求解.,探究提高,知能迁移1 已知函数 证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数. （1）用函数单调性的定义. （2）用导数法. 证明 任取x1,x2(-1,+), 不妨设x10,思维启迪,又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.,题型二 复合函数的单调性 【例2】 已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函 数的区间是( ) A.(3,6) B.(-1,0) C.(1,2) D.（-3,-1） 先求得函数的定义域，然后再结合二 次函数、对数函数的单调性进行考虑. 解析 由x2-2x-30，得x3,结合二次函数 的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3 是减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数， 由此可得D项符合.,思维启迪,D,（1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”， 即f(u)与g(x)有相同的单调性，则fg(x)必为增函 数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： 求出复合函数的定义域； 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； 根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.,探究提高,知能迁移2 函数y= 的递减区间为 （ ） A.(1,+) B. C. D. 解析 作出t=2x2-3x+1的示意 图如图所示， 0 1, 递减. 要使 递减,t应该大于0且递增, 故x(1,+).,A,题型三 抽象函数的单调性与最值 【例3】 已知函数f(x)对于任意x,yR，总有f（x） +f（y）=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)= （1）求证：f（x）在R上是减函数； （2）求f（x）在-3，3上的最大值和最小值. 问题（1）对于抽象函数的问题要根据 题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f（x）为 单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问 题(2)用函数的单调性即可求最值.,思维启迪,（1）证明 方法一 函数f(x)对于任意x,yR总 有f(x)+f(y)=f(x+y), 令x=y=0，得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1x2,则x1-x20, f（x1）-f（x2）=f（x1）+f(-x2)=f(x1-x2). 又x0时,f(x)0,f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2). 因此f(x)在R上是减函数.,方法二 设x1x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又x0时,f(x)0,f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2), f(x)在R上为减函数. (2)解 f(x)在R上是减函数, f(x)在-3,3上也是减函数, f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为f(-3) 与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. f(x)在-3,3上的最大值为2,最小值为-2.,对于抽象函数的单调性的判断仍然要 紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件, 对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小, 或 与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形: 如 或x1=x2+x1-x2等.,探究提高,设函数y=f(x)是定义在(0,+)上的函 数,且满足下面两个条件: 对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y); 当x1时,f(x)0, 试判断函数y=f(x)在(0,+)上的单调性.,知能迁移3,解 设x1x20,则 又当x1时，f(x)0，而 即f(x1)-f(x2)0, f（x1）f(x2)， 函数y=f(x)在(0,+)上单调递减.,题型四 函数单调性与不等式 【例4】 (12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 问题（1）是抽象函数单调性的证明， 所以要用单调性的定义. 问题（2）将函数不等式中抽象的函数符号“f” 运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某 个变量的函数值.,思维启迪,（1）证明 设x1,x2R，且x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1). 即f(x)是R上的增函数.,解题示范,2分,5分,6分,（2）解 f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， f（2）=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集为 f(x)在定义域上（或某一单调区间上） 具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函数是 增函数,则f(x1)f(x2) x1x2,函数不等式（或方程） 的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一 般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义 域内或给定的范围内进行.,探究提高,8分,10分,12分,知能迁移4 已知定义在区间（0，+）上的函数f(x) 满足 =f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.,（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则 由于当x1时，f(x)9,x9或x9或x-9.,1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数 f(x)在其区间上的单调性，其步骤是 （1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1x2； （2）作差f（x1）-f（x2），然后变形； （3）判定f（x1）-f（x2）的符号； （4）根据定义作出结论.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其 定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本 初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用 图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质. 3.复合函数的单调性 对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是 单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.,1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两 个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.两函数f(x)、g(x)在x(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)g(x)， 等的 单调性与其正负有关，切不可盲目类比.,失误与防范,一、选择题 1.若函数y=ax与 在(0,+)上都是减函数， 则y=ax2+bx在（0，+）上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 y=ax与 在(0,+)上都是减函数， a0,b0，y=ax2+bx的对称轴方程 y=ax2+bx在（0，+）上为减函数.,定时检测,B,2.函数 （a0且a1）是R上 的减函数，则a的取值范围是 （ ） A.（0，1） B. C. D. 解析 据单调性定义，f（x）为减函数应满足：,B,3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是（ ） A.y=sin x B.y=-log2x C. D. 解析 y=sin x在 上是增函数， y=sin x在（0，1）上是增函数.,A,4.(2009天津理，8)已知函数 若f(2-a2)f(a)，则实数a 的取值范围是 （ ） A.（-,-1）(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析 由f(x)的图象 可知f(x)在(-,+)上是单调递增函数,由f(2-a2) f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1.,C,5.若函数f(x)=x3 (xR)，则函数 y=f(-x)在其定义域上 是 （ ） A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 解析 f(x)=x3 (xR)，则函数y=f(-x)=-x3 (xR) 显然在其定义域内是单调递减的奇函数.,B,6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 （ ） A. B. C. D. 解析 函数f(x)的定义域是(-1,4)，u(x)=-x2+3x +4 的减区间为 e1,函数f(x)的单调减区间为,D,二、填空题 7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若 f(m-1)f(1-2m)，则m的取值范围是 . 解析 依题意，原不等式等价于,8.已知定义域为D的函数f(x)，对任意xD，存在正数 K，都有|f(x)|K成立，则称函数f(x)是D上的“有 界函数”.已知下列函数:f(x)=2sin x;f(x)= f(x)=1-2x; 其中是“有界函数”的是 _.（写出所有满足要求的函数的序号）,解析 中|f（x）|=|2sin x|2,中|f（x）|1; 中 当x=0时，f(x)=0，总之，|f(x)| 中f(x)1,|f（x）|+,故填. 答案 ,9.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于xR都有f(x+6) =f(x)+f(3)成立，当x1,x20,3，且x1x2时，都有 给出下列命题： f（3）=0； 直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴； 函数y=f(x)在-9，-6上为增函数； 函数y=f(x)在-9，9上有四个零点. 其中所有正确命题的序号