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11.4 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,上节例题:,一般地, 对于已知函数f(x), 是否存在幂级数使得在其收敛域内以f(x)为和函数?,1. 如果能展开, an的表示式是什么? 2. 展开式是否唯一? 3. 在什么条件下才能展开成幂级数?,问题:,定理1: 如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导数, 且在U(x0)内能展开成 (x x0) 的幂级数, 即,则其系数,且展开式是唯一的.,该幂级数的系数称为泰勒系数. 所展开的幂级数称为泰勒级数. 特别地, 当x0=0时的泰勒级数称为麦克劳林级数. 即,泰勒级数,麦克劳林级数,问题: 泰勒级数在收敛区间内是否收敛于f(x)? 即,?,不一定. 例如函数,和函数s(x)0.故, 除 x=0外, f(x)的麦克劳林级数处处不收敛于f(x).,定理3: 设函数f(x)在区间(x0R, x0+R)内有定义, 且任意阶导数都有界, 即, M0, x(x0R, x0+R), 恒有 | f (n)(x)|M (n=0, 1, 2, ), 则 f(x)在(x0R, x0+R)内可展开成(xx0)的泰勒级数.,定理2: 函数f(x)在点x0的泰勒级数在U(x0)内收敛于f (x)的充分必要条件为: 函数f(x)在U(x0)内的泰勒,公式的余项Rn(x)满足,二、函数展开成幂级数,1. 直接法(泰勒级数法),步骤:,(1) 讨论f(x)的各阶导数是否存在, 并求f (n)(x0).,(2) 形式地写出泰勒级数:,例1: 将函数 f(x)=ex展开成麦克劳林级数.,并求出收敛半径。,例2: 将函数 f(x)=sinx展开成麦克劳林级数.,x(-, +).,例3: 将函数 f(x)=(1+x) (R)展开成麦克劳林级数.,x(-1, 1),此式称为牛顿二项式展开式.,这只是一般性结论, 但对具体情况需作具体分析.,1, 1,(1, 1,其中(2n)!=246 (2n); (2n-1)!=135 (2n1) 称为双阶乘.,根据唯一性, 利用常见函数的已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分, 复合等方法求展开式.,2. 间接法,例4: 将函数 f(x)=cosx展开成麦克劳林级数.,x(-, +).,例5: 将函数 f(x)=arctanx展开成麦克劳林级数.,1, 1.,又例如: x(1, 1时,(即展开成(x1)的幂级数), 并求f (n)(1).,级数.,三、小结,1. 泰勒级数收敛于被展开函数的条件; 2. 函数展开成泰勒级数的方法(直接法, 间接法). 3. 熟悉常见函数的已知展开式,(-, +),(-1, 1),(-, +),(1, 1),(-, +),(1, 1,常见函数的已知展开式:,思考题解答,两函数项
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