函数的最大值与最小值(4).ppt

,3.8 函数的最大值与最小值,第2课时,2019年5月24日星期五,函数的最大值与最小值,设函数f(x)在a , b上连续，在（a , b）内可导,（1）求 f(x) 在（a , b）内的极值；,（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ： 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,求f(x)在a , b上的最大值与最小值的步骤如下：,注意： 开区间(a , b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.,一、复习引入：,（1）如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在a, b上的最大值(最小值).,函数的最值一般分为两种特殊情况：,二、讲授新课：,(2) 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值.,2、求最大（最小）值应用题的一般方法:,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;,(2)确定函数定义域，并求出极值点;,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点.,1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质; 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.,解:设箱底边长为x cm，,箱子容积为V=x2 h,例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,箱高,V =60x3x/2,令V =0，得x=40, x=0,(舍去),得V (40)=16000,当x过小（接近于0）或过大(接近于60)时，V0,即箱子容积很小。,当x=40时,容积最大为16000,在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f (x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不必与端点比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间),例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？,解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值,例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值时, 利润L最大.,分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.,求得唯一的极值点,因为L只有一个极值点,所以它是最大值.,答:产量为84时,利润L最大.,例4、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为10km/h时，燃料费是6元/h；而其他与速度无关的费用为96元/h；问以何种速度航行时.能使行驶每公里的费用总和最少？,例5、如图，扇形AOB中，半径0A=1，AOB=900， 在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与弧AB相 切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D， 当点C在什么位置时，直角梯形OC