函数的极值与最大值最小值(3).ppt

1,函数的极值及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的极值与最值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(extreme value),2,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,一、函数的极值及其求法,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,3,函数极值,-局部性.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值.,4,定理1(必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2. 极值的必要条件,必是驻点,费马引理,回忆,极值,5,极值点也可能是导数不存在的点.,如,但,怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点,单减的分界点,(2),不可导.,是极小值点.,是不是极值点,若 x0 是连续函数 f (x) 单增、,则 x0必为极值点.,几何上,?,6,定理2(第一充分条件),则,为极大值,则,不是极值.,(极小值);,3. 极值的充分条件,7,求极值的步骤,求导数;,求驻点与不可导点;,求相应区间的导数符号,判别增减性;,求极值.,(1),(2),(3),(4),不是极值点,8,例,解,(1),(2),驻点:,导数不存在的点:,(3),列表.,确定极值点和极值.,求相应区间的导数符号,判别增减性,9,非极值,极小值,不存在,极大值,驻点:,导数不存在的点:,10,例,解,第一充分条件,11,定理3(第二充分条件),证,极大值,(极小值).,当,充分小时,由极限的保号性,与,异号.,所以,第一充分条件,12,例,解,13,(第二充分条件)不能应用.,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,14,设,是方程,的一,解,若,且,则,在,提示,得,A,练习,利用方程,代入,15,二、最大值最小值问题,1.最值的求法,16,(1),求闭区间a, b上连续函数 f (x) 的最值:,求闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的点，,最值必在端点处达到.,(2),比较嫌疑点的函数值和f (a), f (b),当 f (x)在a, b上单调时,(4),(3) 若连续函数 f (x)在区间I内唯一极值点,就是最值点,对实际问题,唯一嫌疑点,就是最值点。,17,例,解,驻点:,导数不存在的点:,仅需计算:,比较得:,是偶函数,最大值为,最小值为,18,练习,解,驻点:,导数不存在的点:,最大值,最小值,最大值与最小值.,19,实际问题求最值应注意,(1) 建立目标函数;,(2) 求最值;,目标函数唯一驻点处取得所求最值。,20,例,解,目标函数,2. 应用举例,(1),(2),求最大值点,半径为R.,求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为2h,底半径为 r,体积为V,令,得,(舍去负值),唯一驻点,21,例,敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,北,南,西,东,解,敌我相距函数,得唯一驻点,22,例,某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?,解,设房租为每月 元，,租出去的房子:,每月总收入:,套,?,（唯一驻点）,23,例,解,解得,唯一驻点,令,24,三、小结,函数的极值必在驻点和