函数的极值与导数(23).ppt

函数的极值与导数,2、用导数法确定函数的单调区间的步骤：,（3）求解不等式 ,求得其解集， 再根据解集与定义域写出单调递增区间,求解不等式 ,求得其解集， 再根据解集与定义域写出单调递减区间,(1) 求函数的定义域,（2）求出函数的导函数,即求,一、复习：,1.函数的单调性与导数的关系：,求函数y=2x3-6x2+7的单调区间，画出其草图,课前练习,3、问题情境,观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,问题1：函数在X=0的函数值与它 附近所有各点的函数值的关系？,2,我们说f(0)是函数的一个极大值；,问题2：函数在X=2的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？,我们说f(2)是函数的一个极小值。,A,B,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 :,1、定义函数极值（extreme value）,A,B,2,注： f(x0) - 极值 点x-极值点,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大，则称f(x0)是函数的一个极大值,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 都小，则称f(x0)是函数的一个极小值,2、探索思考：,函数y= f(x)在哪些点取得极大值？ 哪些点取得极小值？,函数的极大值一定大于极小值吗?, y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么 规律？,o,a,X1,X2,X3,X4,b,x,y,B,A,F,C,E,D,若x0满足(1). f/(x)=0. (2).在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值.,若 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;,结论:,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.,若 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,三、例题选讲:,例1:求 的极值.,解: f(x)=x2-4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2., 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.,极大值28/3,极小值-4/3,当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：,求函数y=f(x)的极值的步骤:,(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 右侧f/(x)0 ,那么f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 ,那么f(x0)是极小值.,2.解方程f/(x)=0.,1.求导数,3.列表,4.结论：,假设f /(x0)存在, 那么“x0为极值点”与 “f /(x0)=0”有何关系？,若x0是极值点, 则 f/(x0)=0; 反之,若f /(x0)=0, 则x0不一定是极值点.,思考？,例题2:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,(1) y=3x2-x3 (2) y=(x21)2+1,练:用导数法求解函数极值：,练习 P29 1,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,X2是极大值点, X4是极小值点.,练习 P29 2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,解:,解得 列表:,+,+,所以, 当 x = 0 时, f (x)有极小值 1 .,例: 求函数 的极值.,B,练习 函数 在 时有极值10，求a，b的值.,，,注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,课前训练,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,课外练习: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .,(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4,1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,思考,2.已知函数f(x)=x3 +ax2 +bx+c 在x=2 处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值的差,小结：,1.极值的定义