函数的单调性与极值(21).ppt

2.4 函数的单调性与极值 1.函数的单调性,复习,1 、 某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2 、 某点处导数的几何意义,3 、 导函数的定义,4、由定义求导数的步骤（三步法）,5、 求导的公式与法则,如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么,6、 求导的方法,定义法,公式法,练习：,1、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f （0）=0， f （1）=1，f （2）=8，求a、b、c,2、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的夹角为450？,a=1, b=1, c=0,引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？,若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正,若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，,分析：从图形看,设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,证明函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法,结论：,y0,增函数,y0,减函数,例1、确定函数y=x2-2x+4的单调区间,用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f (x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间,注、单调区间不 以“并集”出现。,导数的应用一、判断单调性、求单调区间,例2、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间,练习1、 确定y=2x2-5x+7的单调区间,练习2、求y=3x-x3的单调区间,引例：确定y=2x3-6x2+7的单调区间,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.,函数极值的定义,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.,导数的应用二、求函数的极值,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f(x)0，在x0右侧附近f(x)0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值,(1) 求导函数f (x)； (2) 求解方程f (x)=0； (3) 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.,口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,用导数法求解函数极值的步骤：,例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值.,练:(1)y=x2-7x+6 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3,表格法,注、极值点是导数值为0的点,导数的应用之三、求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数,注：,求函数最值的一般方法：,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,_,+,3,11,2,课本练习 p44,思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,基本练习,1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8,2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y=100(x99+x49+x24) (B) y=100x99 (C) y=100x99+50x49+25x24 (D) y=100x99+2x49,3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 .,4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),6、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定,7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间2，2+t中相应的平均速度等于( ) (A) 8+2t (B) 4+2t (C) 7+2t (D) 8+2t,8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81,9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1,10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 1,例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.,分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等， 即：6+a=2-a,例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.,分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是 4a+b=1,又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1,例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离,分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.,例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.,思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间2，6内单调递增，求m的取值范围。,(1)若曲线y=x3在点处的切线的斜率等于，则点的坐标为( ) (2,8) (B) (-2,-8) (C)