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1(2014山东)如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点()求证:AP平面BEF;()求证:BE平面PAC解答:证明:()连接CE,则ADBC,BC=AD,E为线段AD的中点,四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,设ACBE=O,连接OF,则O是AC的中点,F为线段PC的中点,PAOF,PA平面BEF,OF平面BEF,AP平面BEF;()BCDE是平行四边形,BECD,AP平面PCD,CD平面PCD,APCD,BEAP,AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,四边形ABCE是菱形,BEAC,APAC=A,BE平面PAC3(2014湖北)在四棱锥PABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ADC=90,AB=AD=PD=1,CD=2()求证:BE平面PAD;()求证:BC平面PBD;()设Q为侧棱PC上一点,试确定的值,使得二面角QBDP为45解答:解:()取PD的中点F,连接EF,AF,E为PC中点,EFCD,且,在梯形ABCD中,ABCD,AB=1,EFAB,EF=AB,四边形ABEF为平行四边形,BEAF,BE平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD(4分)()平面PCD底面ABCD,PDCD,PD平面ABCD,PDAD(5分)如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1)(6分),BCDB,(8分)又由PD平面ABCD,可得PDBC,BC平面PBD(9分)()由()知,平面PBD的法向量为,(10分),且(0,1)Q(0,2,1),(11分)设平面QBD的法向量为=(a,b,c),由,得,(12分),(13分)因(0,1),解得(14分)4(2014江苏)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC解答:证明:(1)D、E为PC、AC的中点,DEPA,又PA平面DEF,DE平面DEF,PA平面DEF;(2)D、E为PC、AC的中点,DE=PA=3;又E、F为AC、AB的中点,EF=BC=4;DE2+EF2=DF2,DEF=90,DEEF;DEPA,PAAC,DEAC;ACEF=E,DE平面ABC;DE平面BDE,平面BDE平面ABC13(2012江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直线A1F平面ADE解答:解:(1)三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,CC1平面ABC,AD平面ABC,ADCC1又ADDE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1,AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1;(2)A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点A1FB1C1,CC1平面A1B1C1,A1F平面A1B1C1,A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1,A1FADA1F平面ADE,AD平面ADE,直线A1F平面ADE16(2010深圳模拟)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点(1)求证:EF平面SAD(2)设SD=2CD,求二面角AEFD的大小解答:(1)如图,建立空间直角坐标系Dxyz设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),取SD的中点,则平面SAD,EF平面SAD,所以EF平面SAD(2)不妨设A(1,0,0)
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