反函数、复合函数的求导法则.ppt

一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式小结,三、求导法则小结,2. 3 反函数、复合函数的求导法则,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,下页,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,下页,例2求(arctan x)及(arccot x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以,下页,(1) (C)=0， (2) (xm)=m xm-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex，,基本初等函数的导数公式小结：,，,上页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为,假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有,简要证明：,= f (u 0)j (x 0)。,下页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为,如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立：,下页,复合函数的求导法则：,解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,下页,复合函数的求导法则：,下页,解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n-1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n-1x cos x =n sin n-1x sin(n+1)x。,复合函数的求导法则：,上页,函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u v)=u v，