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文档简介

对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参变量正常积分的定义,四、含参变量正常积分的可积性,三、含参变量正常积分的可微性,二、含参变量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,续函数(图1),y = c(x),y = d(x),x,(正常)积分, 或简称为含参变量的积分.,在 c , d 上连续.,二、含参变量正常积分的连续性,只要,就有,所以,在a ,b 上连续.,注1 对于定理1 的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,为任意区间(开的、闭的、半开半闭的、有限或,注2 由于连续性是局部性质, 定理1 中条件,无限的).,证 (与教材证明方法不同) 令,当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 0, 1 上取值, 且,所以,由于被积函数,F(x) 在a, b连续.,则函数,三、含参变量正常积分的可微性,区间的端点, 则讨论单侧函数), 则,定理4,其值含于 a, b内的可微函数, 则函数,证明 (比教材证明方法简单直观),把 F(y) 看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有,例1,解 由定理4，得,例2,解 本题直接积分较困难，故采用“先导后积”法,注1 有时当被积函数含有对数函数，用“凑微分”、“分部积分”等常规方法求解较困难时，注意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故采用“先导后积”法，是求积分的高级方法.,注2 有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰当地“嵌入”参数.,*例3 计算积分,解 令,上满足定理3 的条件, 于是,因为,【武汉大学 1984】,所以,因而,另一方面,所以,注 本题也可令x = tan，直接积分求出.,四、含参变量正常积分的可积性,上连续,则,证 记,其中,定理 3,取 就得到所要证明的结论.,为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.,定理6,则,例4* 求,解 因为,条件,
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