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工程光学习题解答 第十一章第十一章 光的干涉光的干涉 1 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光 和，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距nm 0 . 589 1 nm 6 . 589 2 是多少？ 解：由题知两种波长光的条纹间距分别为 9 6 1 1 3 1 589 10 589 10 10 D em d 9 6 2 2 3 1 589.6 10 589.6 10 10 D em d 第十级亮纹间距 65 21 1010589.6589100.6 10eem 2 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片 折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11- 17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。 解：设厚度为，则前后光程差为h1nh 1 x d nh D 23 0.5 1010 0.58 0.5 h 2 1.72 10hmm D P x S2 S1 R1 R2 h P0 图11-47 习题2 图 工程光学习题解答 3 一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏 上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发 现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长，空气折射率nm28.656 。试求注入气室内气体的折射率。000276 . 1 0 n 解：设气体折射率为，则光程差改变n 0 nnh 0 2525 x dd nnhe DD 9 0 25 656.28 10 1.0002761.000823 0.03 m nn h 4 * 垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上 。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面（见图11- 18）的直线发生光波波长量级的突变d，问d为多少时，焦点光强是玻璃板 无突变时光强的一半。 解：无突变时焦点光强为，有突变时为，设 0 4I 0 2I,.d D 2 00 4cos2 xd III D 1 0 4 xd mm D 又1nd C 图11-18 工程光学习题解答 1 14 dm n 5 若光波的波长为，波长宽度为，相应的频率和频率宽度记为和 ，证明，对于的氦氖激光，波长宽度 nm 8 . 632 ，求频率宽度和相干长度。nm 8 102 解： c 对于632.8 c nm 898 4 18 2 10103 10 1.498 10 632.8 632.8 10 c Hz 218 4 17 632.8 10 2 10 2 10 Lm 6 直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1m m，双孔必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为，则干涉孔径角 bc 又横向相干宽度为1dmm 孔、灯相距 取 0.182 dd bc lm 550nm 7 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长，平板的厚度nm600mmh2 ，折射率，其下表面涂上某种高折射率介质（），问（1）在5 . 1n5 . 1 n 反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10 个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm）（3）第10个亮环处 的条纹间距是多少？ 工程光学习题解答 解：（1），光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为 0H nnn 22 1.5 0.0020.006nhm 中心条纹的干涉级数为 6 4 0 6 10 10 600 m 为整数，所以中心为一亮纹 （2）由中心向外，第N个亮纹的角半径为 N nN h 10 10 1.5 600 0.067 2 nm rad mm 半径为 1010 0.067 20013.4rfmmmm （3）第十个亮纹处的条纹角间距为 3 10 10 3.358 10 2 n rad h 间距为 1010 0.67rfmm 8 用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环 且 中心是暗斑。然后移动反射镜，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失 1 M 了20环，此刻视场内只有10个暗环，试求（1）移动前中心暗斑的 干涉 1 M 级次（设干涉仪分光板不镀膜）；（2）移动后第5个暗环的角半径。 1 G 1 M 解：（1）设移动前暗斑的干涉级次为，则移动后中心级次为 0 m 0 20m 移动前边缘暗纹级次为，对应角半径为 0 20m 1 1 20 n h 移动后边缘暗纹级次为，对应角半径 0 30m 2 2 10 n h 12 21 1020 . 1 hh 工程光学习题解答 又 （条纹收缩，变小） 12 10 2 2 N hhh h 12 20 ,10hh 10 2 2 hm 0 40.5m （2）移动后 25 2cos 2 hm 2 10 cos20.55 2 3 cos 4 角半径 5 41.40.72rad 9 在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm和n=1.5,望远镜 的视场角为，光的波长问通过望远镜能够看到几个亮纹？ 0 6,450nm 解：设有N个亮纹，中心级次 3 4 0 22 1.5 3 10 1 22 2 10 2 nh m 1 2 q 最大角半径 1 10.0524 2 n N h 12.68N 可看到12条亮纹 10 用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm的范围内共有15个亮 纹，玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长求楔角。,600nm 解： 9 5 600 10 5.9 10 0.05 2 2 1.52 15 rad ne 工程光学习题解答 11 土11- 50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。证明，N和r分别表 N r R 2 示第N个暗纹和对应的暗纹半径。为照明光波波长，R为球面 曲率半径。 证明：在O点空气层厚度为0，此处为一暗斑，设第N暗斑半径为，由图 N r 2222 2 N rRRhRhh Rh 2 2 N rRh 又第N暗纹对应空气层 221 22 hN 2 N h 2 r R N 12 试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心和边缘点，观察点的光程 差必须小于），证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度 4 为=，其中h是观察点处楔板厚度，n和是板内外折射率。 p 1 nh n n h R C O 图11-50 习题12图 r 工程光学习题解答 证明：如图，扩展光源照明契板W，张角为，设中心点发出的光线在两表 1 2 s s2 0 s 面反射交于P，则P点光程差为（为对应厚度），若板极薄时，由 1 2nh h 1 s 发出的光以角入射也交于P点附近，光程差（为折射角） 1 22 2cosnh 2 2 22 22 2cos21 2sin21 22 nhnhnh 由干涉条纹许可清晰度条件，对于在P点光程差小于 10 ,s s 4 2 122 4 nh 1 4 n nh n 许可角度 证毕。 1 1 2 n nh 13 在图11- 51中，长度为10cm的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。另一端与平面玻璃 相间隔0.1mm，透镜的曲率半径为1m。问：（1）在单色光垂直照射下看到的 条纹形状怎样？（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外 计算，第N个暗条纹到接触点的距离是多少？设照明广博波长。nm500 解：（1）沿轴方向为平行条纹，沿半径方向为间距增加的圆条纹，如图 10cm R=1m 高0.1mm 图11-51 习题14图 工程光学习题解答 （2）接触点光程差为 为暗纹 2 沿轴方向，第N个暗纹有 2 hN 距离 9 3 500 10 0.25 22 10 hNN dNmm 沿半径方向 2 9 1500 100.707 N rRNNmNmm 14 假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为和的两个单色光波，= 1 2 1 +，且，这样，当平面镜M 移动时，干涉条纹呈周期性地消 2 1 1 失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程 差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M 移动的距离h；（3）对 1 于钠灯，设=589.0nm和=589.6nm均为单色光，求h的值。 1 2 解：（1）当的亮纹与的 1 2 亮纹重合时，太欧文可见度最好，与的亮暗纹重合时条纹消失，此 1 2 时光程差相当于的整数倍和的半整数倍（反之亦然），即 1 2 1 12 1 2() 2 hmm 式中假设，为附加光程差（未镀膜时为） 2 cos1 2 21 2112 1222 1 2 hhh mm 当移动时干涉差增加1，所以 1 M 21 12 12() 1 2 2 hh mm （1）（2）式相减，得到 12 2 h （2） 0.289hmm 15 图11- 52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D 和D 是两个长度为1 12 工程光学习题解答 0cm的真空气室，端面分别与光束垂直。在观察到单色光照明（=58和 9.3nm）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D 充氧气，最后发现条纹移动了92 2 个，（1）计算氧气的折射率；（2）若测量条纹精度为条纹，求折射率的101 测量精度。 解：（1）条纹移动92个，相当于光程差变化92 设氧气折射率为， =1.000271n氧210.192n 氧 n氧 （2）若条纹测量误差为，周围折射率误差有N 9 7 2 0.1 589.3 10 2.95 10 22 0.1 l nN N n l D1 I M1 D2 II 图11-52 习题16图 工程光学习题解答 16 红宝石激光棒两端面平行差为10 ，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中， 光波的波长为632.8nm,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间 距多大的条纹？设红宝石棒的折射率n=1.76. 解：契角为，光经激光棒后偏转21n 两光波产生的条纹间距为 8.6 21 emm n 17 将一个波长稍小于的光波与一个波长为的光波在F-nm600nm600 P干涉上比较，当F- P干涉仪两镜面间距改变时，两光波的条纹就重合一次，试求未知mm5 . 1 光波的波长。 解：设附加相位变化，当两条纹重合时，光程差为，的整数倍， 1 2 2hm 2h m 在移动前 21 12 1212 22 2 hh mmmh 移动后 21 12 1212 2()2() 12() hhhh mmmhh 由上两式得 2 12 0.12 22 nm hh 未知波长为599.88nm 18 F- P标准具的间隔为，问对于的光，条纹系中心的干涉级是mm5 . 2nm500 工程光学习题解答 多少？如果照明光波包含波长和稍少于的两种光波，它们nm500nm500 的环条纹距离为条纹间距，问未知光波的波长是多少？100/1 解：若不考虑附加相位，则有 0 2hm 4 0 2 10 h m 2 9 4 2 3 500 10 1 5 10 2100 2 2.5 10 e nm eh 未知波长为499.99995nm 19 F- P标准具两镜面的间隔为，它产生的谱线的干涉环系中的第2环mm25 . 0 1 和第5环的半径分别是和，谱系的干涉环系中的第2环和第mm2mm8 . 3 2 5环的半径分别是和。两谱线的平均波长为，求两谱mm1 . 2mm85 . 3 nm500 线波长差。 解：设反射相位产生附加光程差，则对于有 1 01 2 1hm 若，（为整数），则第N个亮纹的干涉级数为 011 mmq 1 m 1 1mN 其角半径为 11 2 cos1. 2 N hmN 由（1）（2）得 11 21 cos1 N hNq 2 1 1 1 N Nq h 又 NN rf 第五环与第二环半径平方比为 2 51 1 2 21 5 1 0.149 2 1 rq q rq 同理 2 0.270q 工程光学习题解答 又 1122 122 222hhh mqmq 2 21 6 10 2 qqnm h 20 如图11-53所示，F- P标准具两镜面的间隔为，在其两侧各放一个焦距为的准直透镜cm1cm15 和会聚透镜。直径为的光源（中心在光轴上）置于的焦平面上 1 L 2 Lcm1 1 L ，光源为的单色光；空气折射率为1。（1）计算焦点处的干涉nm 3 . 589 2 L 级次，在的焦面上能看到多少个亮条纹？其中半径最大条纹的干涉级 2 L 和半径是多少？（2）若将一片折射率为1.5，厚为的透明薄片插入mm5 . 0 其间至一半位置，干涉环条纹应怎样变化？ 解：（1）忽略金属反射时相位变化，则 2 9 22 10 33938.57 589.3 10 h m 干涉级次为33938 透明薄片 观察屏 L2 L1 S 图11-53 习题21图 cm1 工程光学习题解答 光源经成像在观察屏上直径为，相应的张角，中心亮1cm 1 30 tg 纹干涉级为，设可看到N个亮纹，则最亮纹干涉级次为 1 33938m ，其入射角有 1 1mN N 1 2cos1 N nhmN 1 133919.7mN 最外层亮纹级数为33920 可看到18个亮纹 （2）上下不同，所以有两套条纹，不同处即 上： 2nhm 下： （以上对应中心条纹）22nhnnhm 21 在玻璃基片上（）涂镀硫化锌薄膜，入射光波长为，求52 . 1 G nnm500 正入射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。 解：正入射时，反射比为 2 222 0 0 2 222 0 0 cossin 422 , cossin 22 G G G G n n nnn n nh n n nnn n 当时，反射率最大 G nn 2 0 max 0 0.33 G G n n n n n n n n 对应52.52 4 hnm n 当时，反射率最小，2 min 0.04 对应105.04 2 hnm n 工程光学习题解答 22 在玻璃基片上镀两层光学厚度为的介质薄膜，如果第一层的折射率4/ 0 为1.35，问为达到在正入射下膜系对全增透的目的，第二层薄膜的折射 0 率应为多少？（玻璃基片折射率）6 . 1 G n 解：镀双层膜时，正入射 2 0 01 G G nn nn 其中 22 11 2 22 GG G nn nn nn 令，则0 21 0 1.6 1.351.71 1 G n nn n 23 在玻璃基片（）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（），控6 . 1 G n38 . 1 n 制膜厚使得在正入射时对于波长的光给出最小反射比。试求nm500 0 这个单层膜在下列条件下的反射比：（1）波长，入射角；nm600 0 0 0 0 （2）波长，入射角。nm500 0 0 0 30 解：（1）时，600nm 0 445 46 nh 代入式（11-67）有 0.01 （2）斜入射时，对分量有, s p 0 000 0 00 0 coscoscoscos , coscos coscos sp nn nn rr nn nn 可见对 分量若令s 000 cos,cos,cos GGG nn nn nn 分量令p 0 0 0 , coscoscos G G G nnn nnn 则其形式与正入射时类似，因此可用于计算斜入射情形 当时，可求得 0 30 1 0 sin sin21 15 n 工程光学习题解答 1 sinsin18 12 G G n n 对 分量 s 000 cos0.866,1.286,1.52 G nnnn 在角入射下，30 00 44 coscos21 150.932nhnh 将上述值代入（11-67）式有，0.014 s r 同理 0.004 p r 因入射为自然光，所以反射率为 1 0.009 2 sp rr 24. 图示为检测平板平行性的装置。已知光源有：白炽灯，钠灯 （ ，氦灯（ nmnm6 . 0,3 .589nmnm0045 . 0 ,590 ），透镜L1、L2的焦距均为100mm，待测平板Q的最大厚度为4mm， 折射率为1.5，平板到透镜L2的距离为300mm. 问：1）该检测装置应选择何种光源？ 2）S到L1的距离？ 3）光阑S的许可宽度？ （注：此问写出算式即可。） 1） 小，相干性好，故选氦灯。 2） 检测平板平行性的装置应为等厚干涉系统，故S到L1的距离为100mm，以使出射光 成平行光，产生等厚干涉条纹。 3）光源角半径： 另一方面，由光源中心点与边缘点发出的光在P点产生的程差之差： 1 2l b 4 )cos1 (2 0 nh 工程光学习题解答 由此得： 所以光阑S的许可宽度为： 25. 法布里珀罗（F- P）干涉仪两工作板的振幅反射系数，假设不考虑光在干涉仪两板内表面反射时 的相位变化，问： （1） 该干涉仪的最小分辨本领是多大？ （2）要能分辨开氢红线的双线，即 ，则F- P干涉仪的间隔h最小应为多大？ 解（1） F-P干涉仪的分辨本领为 当r=0.9时，最小分辨本领（对应m=1)为 （2）要能分辨开氢红线的双线 ，即要求分辨本领为 由于A正比于m，所以相应的级次为 h n n