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第六章 定积分与二重积分 曲线积分与曲面积分,第一节 定积分的概念与性质,一、两个实例,1. 曲边梯形的面积,曲边梯形:由连续曲线y=f(x)和三条直线x=a , x=b和y=0(即x轴)所围成的图形。,y=f(x),O,x,y,a,b,底:a ,b;高:y=f(x)(变化的),曲边:y=f(x)(曲线),由封闭曲线所围成的图形的面积往往可化为曲边梯形面积之差(如右图)。,O,M1(a ,0),N1(b ,0),x,y,A,C,B,D,由此可见,求任意封闭曲线围成的图形的面积,必须先解决曲边梯形的面积问题。,下面计算曲边梯形的面积A:,(1)分割(化整为零):将区间a ,b分成n个小区间,a=x0x1x2 xi-1xi xn-1xn=b,.,.,x0,x1,x1,x2, ,xi-1,xi, ,xn-1,xn,.,.,a=x0,x1,x2,xi-1,xi,xn-1,xn=b,x,y,y=f(x),O,第i个小区间的长度(即xi-1,xi的长度)记为,第i个小曲边梯形的面积记为,(2)近似(不变代变):,(即以 为底、 为高的矩形面积),(3)求和(积零为整):,(4)取极限(再取极限):,( 为最大小区间的长度),2. 变速直线运动的路程,设一物体沿直线运动,已知速度v=v(t)是时间区间a ,b上的连续函数,且 。求物体在这段时间内所走过的路程s,(1)分割:将区间a ,b分成n个小区间,a=t0t1 ti-1ti tn-1tn=b,.,.,t0,t1,t1,t2, ,ti-1,ti, ,tn-1,tn,.,.,(第i个小区间的长度),(第i段时间上的路程),(2)近似:,( 为区间ti-1,ti上任意一点),(3)求和:,(4)取极限:,由上可知,曲边梯形的面积与变速直线运动的路程均可归结为和式的极限。,二、定积分的定义,定义 设函数f(x)在区间a ,b上有界,任取分点:,a=x0x1x2 xi-1xi xn-1xn=b,.,.,把区间a ,b分成n个小区间:,x0,x1, x1,x2, , xi-1,xi, ,xn-1,xn,,.,.,其长度为 = xi-xi-1 ,,在每个小区间xi-1,xi上,任取一点,如果不论对区间a ,b采取何种分法及 如何选,取,当最大的小区间的长度 时,和 式的极限,存在,则称函数f(x)在区间a ,b上可积,而称此极限值为函数f(x)在区间a ,b上的定积分,记作,在 中,,称 为积分号,称f(x)为被积函数,称f(x)dx为被积表达式,称x为积分变量,a与b分别称为积分下限与上限,称a ,b为积分区间。,简单地讲,定积分就是和式的极限。,回顾:,(1)曲边梯形的面积:,(2)变速直线运动的路程:,注意:,(1)当 存在时, 仅与a , b及f(x)有关,而与积分变量无关,即,(2)当定积分存在时, 与a ,b的分法及 的取法无关,(3)函数f(x)在区间a ,b上可积的充分条件常用的有以下两种:,(i)函数f(x)在区间a ,b上连续,(ii) 函数f(x)在区间a ,b上只有有限多个间断点,且间断点全为第一类间断点,(4)补充规定:,三、定积分的几何意义与物理意义,1. 定积分的几何意义,(曲边梯形面积的代数和),可分三种情形讨论:在区间a ,b上,(1),A,y=f(x),y,x,O,a,b,(2),O,y,x,a,b,y=f(x),A,(3)f(x)可正可负,A1,A2,A3,x,y,O,y=f(x),a,b,2. 定积分的物理意义,定积分的物理意义多种多样,如,变速直线运动的路程等。,例1 由定积分的几何意义,指出下列积分的值:
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