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文档简介

第四节 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念,二、对面积的曲面积分的性质,三、对面积的曲面积分的计算,第十一章,Surface integrals with respect to area,对面积的曲面积分的概念,回忆：二重积分可以计算平面薄片的质量,面密度：,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,类似于第一类曲线积分中曲线形构件质量的讨论,如果把曲线改成曲面,1.定义,积分曲面,dS 面积元素,积分和式,被积函数,以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.,对面积的曲面积分的物理意义,有质曲面的质量：,面密度,二、对面积的曲面积分的性质,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似,对面积的曲面积分的计算,三、对面积的曲面积分的计算,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,“一投影、二代入、三变换dS”,化成二重积分,则,则,“一投影、二代入、三变换dS”,而,(光滑),证明: 由定义知,解,例1,利用极坐标,得,对面积的曲面积分化为二重积分的步骤：,（1）做出曲面 的图形，并写出其显函数方程,（2）将曲面投影到xoy面上，得投影区域D；,（3）计算面积元素,（4）计算二重积分,注意2：根据曲面方程的形式不同，也可向其他不同的坐标面投影。,练习,解,例2,解,如图,从而,例3,解,它们在xOy面上的投影均为,例3,这一项为0,利用对称性简化对面积的曲面积分,例3,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例1,也可以利用轮换对称性简化第一类曲面积分的计算,第一类曲面积分的其他应用,第一类曲面积分可以求有质曲面的质量，以及与质量有关的问题,比如:重心、转动惯量、引力等等。,例5,解,例6. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用对称性、质心公式简化计算的技巧.,P246 题2.,限中的部分
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