工程力学第12章弯曲变形.ppt

,第十二章 弯曲变形,12-1 引言,研究弯曲变形的目的：,1.建立梁的刚度条件； 2.求解静不定梁； 3.利用弯曲变形,挠曲轴（线）：梁弯曲变形后的轴线。,度量弯曲变形有两个量：挠度和转角,一、挠度（w）：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的 线位移（mm) 。,挠曲轴方程：,向上的挠度 向下的挠度,二、转角（ ）：横截面的角位移，也等于挠曲轴在该截面处的 切线与x 轴的夹角（rad)。,转角方程：,逆转 顺转,挠曲轴是挠度方程的函数曲线,三、挠度与转角的关系,在小变形下,12-2 挠曲轴近似微分方程,纯弯曲：,非纯弯曲：,（略去剪力对梁变形的影响）,由高数知识可知，平面曲线 上任一点的曲率为,挠曲轴微分方程,在小变形下 远小于1，挠曲轴方程简化为,挠曲轴近似微分方程,近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。,12-3 积分法求弯曲变形,C、D 为积分常数，由以下两类条件确定：,1.边界条件：梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如： 固定端截面,铰支座截面,弯曲变形对称截面,2.光滑连续条件：挠曲轴是一条光滑连续的曲线，任一截面 的挠度和转角只有一个确定的值。,转角方程,挠曲轴方程,例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：(1)选取坐标系如图所示， 梁的弯矩方程为, 挠曲轴近似微分方程,转角方程,挠曲轴方程,在固定端A，转角和挠度均应等于零，即, 确定积分常数,（4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为,梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处, 确定最大挠度和最大转角,例：简支梁AB如图所示（图中a b），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。,解： 列弯矩方程，建立如图坐标系,AC段（0 xa）,CB段（a xl）,积分,转角方程,挠曲轴方程,AC段（0 xa）,CB段（a xl）,挠曲轴近似微分方程,弯矩方程, 确定积分常数,解得：,挠曲轴方程, AC段（0 xa）,CB段（a xl）,转角方程,挠曲轴方程,转角方程, 确定最大挠度,所以转角为零的点在AC 段,12-4 叠加法求弯曲变形,积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上 同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。 应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工 具：附录D 注 意： （1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。,例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。,解：查附录D，均布载荷q单独作用时,集中载荷F单独作用时,截面C的挠度：,逐段刚化叠加,例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI已知。试求截面 C的挠度。,解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。,1. 将BC刚化，分析简支梁AB的变形，将分布载荷q平移到B截面， B截面的转角为,C截面相应的挠度为,2.将AB刚化，分析悬臂梁BC的变形。 C截面相应的挠度为,C截面的总挠度为,例：悬臂梁在BC段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。,解：,12-5 简单静不定梁,静不定梁（超静定梁）,梁的约束力的个数超过了静力平衡方程数目，即成为静不定梁。,多余约束和多余约束力,在静不定梁中，凡是多于维持平衡所必须的约束称为多余约束，与其相应的约束力称为多余约束力。多余约束力的数目就是静不定的度数。,相当系统,将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不定梁相同的梁，称为原静不定梁的相当系统。,求解静不定梁的步骤： 画出原静不定梁的相当系统,列出相当系统的变形协调条件,求出多余约束力,计算梁的内力、应力和变形等,相当系统,图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统,相当系统的变形协调条件为,由叠加法,求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形， 并可校核其强度和刚度。,建立静力平衡方程,解得：,求出多余约束力后，就可像静定梁一样进行内力、应力 和变形等计算。,注意：多余约束的选择并不是唯一的，上面讨论的静不定梁，也可用解除固定端对截面转动约束的方法求解，则其变形协调条件为,解得：,建立静力平衡方程,解得：,求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件,例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够，用杆CB 加固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与EA，且A = 3I/l2。,解：将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力FR 代替,变形协调条件,解得：,加固梁的最大挠度,未加固梁的最大挠度,一、梁的刚度条件,式中 和为规定的许用挠度和转角。,12-6 梁的刚度条件及合理刚度设计,例：如图，若F1=20kN，F2=10kN，a=1m，l=2m，E=200GPa， 梁B处的许用转角= ，试根据刚度条件确定该外伸梁的 直径d。,解：1. 根据叠加法求得梁B处的转角,2. 根据刚度条件,得,所以,例：简支梁跨中承受集中载荷F = 35kN。已知跨度l = 4m，许用应力=160MPa，许用挠度=l /500，弹性模量E = 200GPa，试选择工字钢型号。,解： 按强度条件选择工字钢型号, 按刚度条件选择工字钢型号,查表，应选择No.22a工字钢。,二、梁的合理刚度设计,1.选择合理的截面形状( I ),2.合理选择材料( E ),影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。,影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。,3.梁的合理加强,4.梁跨度的选取( l ),5