边界元法与无网格法无网格法概论.ppt

无网格法概论 Introduction to Meshless Methods,高效伟 大连理工大学 航空航天学院,参考文献,张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出版社，2005 . G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序设计, 山东大学出版社，2007. S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.,有限元法存在的某些困难,冲压成型：网格畸变 裂纹动态扩展：网格重分 高速碰撞：网格畸变 奇异性问题：解析函数 自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p) 应变局部化：网格重分 薄壳问题：近似函数高阶连续性问题 复杂三维结构有限元网格的生成,无网格法,直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。,网格法 （有限元法、边界元）,无网格法,对某些特殊问题，无网格法很有效。,无网格法概论,无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法,无网格法的研究历史,七十年代：非规则网格有限差分法 1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH 归一化光滑函数算法 分片试验 不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案 MLSPH 水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等,无网格法的研究历史,1992年：Diffuse element (Nayroles等) 1994年：Element Free Galerkin (Belytschko) 动态裂纹扩展数值模拟 三维撞击、流体晃动分析 板壳分析 EFG和有限元、边界元法耦合 相变问题；扩散问题 1995年：Reproducing Kernel Particle Method （W K Liu） 多尺度分析、自适应分析 结构动力学、流体动力学 动态断裂和局部化 金属加工成形 中厚梁板、微电子机械系统 纳米管起皱,节理岩体 2000 边界条件 2001 质点积分 2006,实质上与EFG等价！,无网格法的研究历史,1996年：Finite Point Method（Onate等） 流体动力学 弹塑性分析 1996年：Hp Clouds (Oden等) 铁摩辛柯梁问题 厚板的弯曲问题 基于云团法的新型hp有限元 Hp无网格云团法 1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等） 动态裂纹扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri, Sladek),无网格法的研究历史,将无网格法的思想引入有限元法中 PUFEM Babuska，1996 GFEM Duarte XFEM Belytschko 流形元法（石根华）,动态裂纹扩展 节理岩体 应变局部化,网格连续 近似函数不连续,无网格法类型,2000年：紧支径向基函数配点法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法 2003年：伽辽金配点无网格法 2004年：边界弱形式配点法 2005年：物质点有限元法 2006年：质点积分无网格伽辽金法 2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D,无网格法活动,1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷） 2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑（25卷，2-3期） 近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主题会。 许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。,无网格法概论,无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法,点插值法,MLS拟合（n m）：,I=1,2, , n,线性函数：,二次函数：,配点：,函数逼近：,紧支试函数,移动最小二乘法 (Moving Least Square) 核函数近似 (Kernel approximation) 重构核近似(Reproducing Kernel approx.) 单位分解法 (Partition of Unity) 径向基函数（Radial basis functions） 点插值法（Point interpolation method） 自然邻接点插值 Kriging插值 非均匀有理B样条（NURBS）,函数u(x)可以近似为,大多数无网格法形函数不满足插值特性，即,径向基函数,一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离函数, 中心位于节点xI的距离基函数,MQ： RMQ： TPS： Gaussians：,4th order spline radial basis function：,紧支性：,当,径向基函数,径向基函数,增加多项式基后，MQ插值正定,如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性； Wang等采用局部形式 径向基点插值法,Hermite型径向基函数插值,移动最小二乘近似,近似函数, 基函数（多项式或其它已知函数）, 待定系数,线性基：,二次基：,移动最小二乘近似 待定系数的确定,有限元法 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点处的函数值ui 待定系数的个数必须等于单元自由度 uh(xi) = u(xi) 具有插值特性 依赖于网格 MLS 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取极小值 精度高，并且可具有高阶连续性 能够精确重构基中的任何函数 计算量大 uh(xi) u(xi) 不具有插值特性 (拟合),移动最小二乘近似,移动最小二乘近似,移动最小二乘近似,当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数退化为为Shepard函数 如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0，则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即,对于裂纹扩展问题，基函数可以取为,对于声场，基函数可以取为,广义移动最小二乘近似,MLS要求近似函数在各节点处误差的平方和为最小，但对近似函数导数的误差没有任何约束 Atluri等人在分析欧拉梁时，要求近似函数及其导数在各点处误差的平方和最小,可只将函数在面力边界各节点处的导数作为自变量，要求近似函数在所有节点处误差的平方和与近似函数导数在面力边界各点处误差的平方和之和最小,无网格法概论,无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法,典型无网格法,典型无网格法,伽辽金型无网格法 配点型无网格法 基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法 最小二乘无网格法 物质点法 加权余量法,伽辽金型无网格法,EFG MLS Galerkin RKPM RK Galerkin PIM PI Galerkin,伽辽金型无网格法,等效积分弱形式（虚位移原理）,MLS近似：,计算量大 精度高，稳定性好 需要背景网格进行积分 系数矩阵对称 不易施加本质边界条件处理,伽辽金型无网格法 数值积分,背景网格积分,伽辽金型无网格法 数值积分,伽辽金型无网格法 数值积分,节点积分,稳定化方案,零能模态,伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理,拉格朗日乘子法,伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理,修正变分原理,伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理,罚函数法,加权余量法,平衡方程,应变-位移关系,应力-应变关系,边界条件,线弹性力学的控制方程,加权余量法,对于复杂问题，只能求近似解,加权余量法不要求余量在各点均为零，而要求余量的加权积分为零 平均意义上满足方程,近似解：,加权余量法的物理意义：选取合适的待定参数强迫余量在某种平均意义下为零,等效积分形式,检验函数 Test functions, 试探函数(trial function) 待定系数,加权余量法,如何选取权函数？,取：,选择不同的权函数，得到不同的加权余量法, Test function,加权余量法,1. 配点法,强迫余量在域内N个离散点上为零!,2. 子域法,强迫余量在N个子域VI上的积分为零!,加权余量法,3. 最小二乘法,强迫余量的均方和为最小！,4. 伽辽金法,在有限元法中主要采用伽辽金法,加权余量法,5. 局部彼得洛夫-伽辽金法,余量在各子域s上消除，且检验函数和试探函数取自不同的函数空间,加权余量法,子域s 以各节点为中心：球形、椭球、立方体 在子域中积分，易于实现 检验函数 MLS权函数 Dirac 函数 误差函数 微分方程的基本解：等价于LBIE 单位阶跃函数：无域内积分，效率高 近似函数：与Galerkin法等价 最终得到的求解方程的系数矩阵一般是不对称,无网格法的应用,天体物理 水下爆炸 高速碰撞 动态裂纹扩展 板壳分析 流体力学 相变问题 大变形 自适应 金属加工成型 塑性变形局部化 纳米管起皱,岩土数值模拟,岩土特性：强度和压力相关性，剪胀性，非关联塑性，以及应变软化和等压屈服特性。 Drucker-Prager弹塑性本构模型 屈服面与压力相关，剪胀性和非关联塑性。,屈服面：f s和f t,平面上,岩土数值模拟,Drucker-Prager模型,剪切失效-屈服函数,拉伸失效-屈服函数,屈服面,剪切失效-塑性势函数,非关联流动,拉伸失效-塑性势函数,关联流动,摩擦角： 粘聚力：c 剪胀角：,岩土数值模拟 边坡失效,粘土边坡,E=70MPa, =0.3, =2.1 g/cm3, = 20 ; =00 ; c = 10.0 kPa,MPM