§4.1矩阵的特征值与特征向量.ppt

,数学与应用数学系,4.1 矩阵的特征值与特征向量,方程组等问题，也都要用到特征值的理论.,工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定,性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征,向量的问题.,数学中诸如方阵的对角化及解微分,作下面的乘法得,引例 设,只是原像的倍数.,我们可以从映射的角度看待上述运算，即由二,阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量集合,R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则为：,a R2 Aa R2 .,在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2,向量有些什么性质？,从几何上看，像与原像在一条直线上，而,向 量 a3 的像 Aa3 就 不 具有这个性质.,我们把,a1，a2 称为矩阵 A 的特征向量，,数 -1 与 3 分别,称为a1，a2 对应的特征值.,那么，是否任何一,个方阵都有特征值与特征向量？,特征值与特征,题.,这是本节要讨论的主要问,一、特征值与特征向量的定义,定义1 设 A是n阶矩阵,如果数 和n维非零列向量 x使,关系式,成立,那么,这样的数 称为矩阵A的特征值,非零向量,称为A的对应于特征值 的特征向量.,注:n阶方阵A的特征值 ,就是使齐次线性方程组,有非零解的值,即满足方程 的 都是矩阵,A的特征值.,称关于 的一元 n次方程,为矩阵A的特征方程.,称关于 的一元 n次多项式,为矩阵A的特征多项式.,定理4.1.1 (特征向量的求法),设 为方阵A的一个特征值,则由方程,可求得非零解 ,那么 便是 A的对应于特征值,的特征向量,且 A的对应于特征值 的特征向量全,体是方程 的全体非零解,即设,为方程 的基础解系,则A的对应于特征,值 的全部特征向量为,不全为0).,注意:特征向量不唯一.,一个特征向量对应一个特征值,但一个特征值,可以对应多个特征向量.,例4.1.1 求矩阵 的特征值和特征向量.,例4.1.2 求矩阵 的特征值和特征向量.,解:,即A的特征值为,当 时,解方程,由,得基础解系,所以 是对应于 全部特征向量.,当 时,解方程,由,得基础解系,所以对应于 全部特征向量为,不同时为0).,例 2 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E .,二、特征值与特征向量的性质,定理4.1.2 n阶方阵A与它的转置矩阵 有相同的特征,多项式和特征值.,定理4.1.3 设n阶矩阵 的特征值为 ,则有,例4.1.3 求证: n阶方阵A不可逆,当且仅当A有一个特征,值为零.,定理4.1.4 矩阵A的互不相等的特征值 对应,的特征向量 线性无关.,例4.1.4 设 是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特,征向量依次为 ,试证明 不是矩阵A的特征向,量.,例4.1.5 设 是方阵A的特征值,证明,(1) 是 的特征值;,(2) 当A可逆时, 是 的特征值.,例 3 设 是方阵 A 的特征值. (1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + + amm , A = a0E+ a1A + + amAm , 证明 是 A 的特征值.,例 4 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,p 为对应的特征向量, 证明:,分别为 A-1 与 A* 的特征值, p 分别为 A-1 与 A* 对 应的特征向量.,例4.1.6 设 是n阶可逆方阵A的特征值,(1)求矩阵 的一个特征值;,(2)求矩阵 和 的一个特征值.,例4.1.7 方阵A满足等式 ,求A的特征值.,定理4