概率统计第二章经典讲义.ppt

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,4 连续型随机变量及其概率密度,则称 X为连续型r.v., f(x)为 X 的概率密度函数， 简称概率密度.,连续型r.v.及其概率密度函数的定义,1 o,2 o,这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.v.X的概 率密度函数的充要条件.,3 o,概率密度函数的性质,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.,=f(x),若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,5 0 连续型r.v.取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这是因为,说明,1) 对连续型 r.v. X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,由此可见，,由P(A)=0, 不能推出,并非必然事件,由P(B)=1, 不能推出 B =,即分布函数是密度函数的变上限定积分.,若 X 是连续型r.v.， X f (x) , 则,F(x) = P(X x) =,且在 f (x)的连续点，,连续型 r.v.的分布函数,例1 设r.v.X的概率密度为,(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P1X7/2.,正态分布是应用最广泛的一种连续型r.v.的分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,1. 正态分布,三种重要的连续型r.v.,(1) 正态分布的定义,若r.v. X 的概率密度为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数， 任意， 0，则 称X服从参数为 和 的正态分布.,() 正态分布 的图形特点,正态分布密度函数的曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置， 决定了 图形中峰的陡峭程度.,故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f (),这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x) 0,用求导的方法可以证明，,为f (x)的两个拐点的横坐标。,x = ,例2 下面是我们用某大学大学生的身高数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学大学生的身高服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这反映了服从正态分布的随机变量的特点。,除了身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸、纤维的强度和张力、农作物的产量、小麦的穗长和株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,(4) 标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算.,（5） 正态分布表,表中给的是x0时, (x)的值.,当x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),由标准正态分布的 查表计算可以求得：,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,（6） 3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，Y 的取值几乎全部集中在,区间内，,这在统计学上称作“3 法则”,例3 假设某地区成年男性的身高（单位：cm） XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高 超过175cm的概率。,解: 根据假设XN(170,7.692)，则,故事件X175的概率为,P X175=,=0.2578,解: 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,例4 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?假设成年男性的身高（单位：cm）XN(170,7.692),因为XN(170,7.692),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+17.92 188,设计车门高度为 188厘米时，可使男 子与车门碰头机会 不超过0.01.,则称点 为标准正态分布的上 分位点.,（7） 上 分位点,设XN(0,1)，若 满足条件,若 r.v. X的概率密度为：,则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：,X U（a, b）,. 均匀分布,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。,例5 设电阻值R是一个r.v.，均匀分布在9001100，求R的概率密度及R落在9501050的概率。,解,按题意，R的概率密度为,于是有,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,3. 指数分布,常简记为 XE( ) .,若 r.v. X具有概率密度,这一讲，我